二次曲线一个猜想结论的推广

∴切线的斜率为 k=?bcosθ/(asinθ),

bsinθbsinθ

kMF1=,kMF2=.

acosθ+cacosθ?c

bb

,tan?2=, ∴tan?1=

csinθcsinθ

∴?1=?2,M点处的切线平分△F1MF2的外角.

推论 M点的法线平分∠F1MF2. 性质3 F1,F2是椭圆的两个焦点,A1,A2

是长轴的两个端点, 过椭圆上异于A1,A2 的任一点的切线,过

F1,F

2垂足分别是B、C,

则B、C在以A1,A2 为直径的圆上.

证明 设F1,F2关于切线的对称点为F1', F2

'

由性质2,可知,F1,M,F2′及F1′,M,F2共线,

二次曲线一个猜想结论的推广

福建漳州一中 林新建

文[1]给出了二次曲线的如下猜想: 已知点P(x0,y0)不在二次曲线Γ:Ax2+ Cy2+Dx+Ey+F=0上,过P作倾斜角互补

的两条直线分别交Γ于S,M和T,N,则直线MN与ST的倾斜角也互补.

文[2]给出了上述猜想的证明,并把结论修正为:“直线MN与ST的倾斜角也互补或倾斜角都为0°”.

上述结论可简单概括为:若kPM+kPN= 0,则kMN+kST=0,本文将此结论推广到更一般的情形.

定理 已知点P不在二次曲线Γ:Ax2+ Cy2+Dx+Ey+F=0(*)上,过P作二直线分别交Γ于S、M和T、N.

(1) 直线PM与PN的斜率之和为定值的充要条件是直线MN与ST的斜率之和也为定值;

(2) 直线PM与PN的斜率之积为定值的充要条件是直线MN与ST的斜率之积也为定值.

证明 设P点的坐标为(x0,yo),PM,PN的

∴F1F2′=F2F1′=2a,∴OC=OB=a, ∴B、C 在以A1,A2为直径的圆上.

性质4 PA、PB为椭圆的两切线,切点为A、B,则PF1平分∠AF1B.

证明 F1关于PA对称点为F1′,由性质2,知

F1′,A,F2共线, F2关于PB对称

点为F2',由性质

2,知F1,B,F2'共

线. ∵PF1′=PF1,PF2又F2F1'=2a=F1F2', ∴△PF1F2'≌△PF1'F2, ∴∠PF1'A=∠PF1B, 又∵△PAF1'≌△PAF1,

∴∠PF1'A=∠AF1P,∴∠AF1P=∠PF1B, 即PF1平分∠AF1B.

斜率分别为k,k',则PM,PN的方程分别为:

y?y0=k(x?x0),y?y0=k'(x?x0). 又设直线MN,ST的方程分别为, mx+ny+p=0,qx+ry+s=0.

由文[2]中引理,得到过S,M,N,T四点的二次曲线系方程为:

[y?y0?k(x?x0)][y?y0?k'(x?x0)]+ λ(mx+ny+p)(qx+ry+s)=0.整理,得:

(kk'+λmq)x2+(1+λnr)y2?

(k+k'?λmr?λnq)xy?

(2kk'x0?ky0?k'y0?λms?λpq)x+

2

(kx0+k'x0?2y0+λns?λpr)y+kk'x0 2

?(k+k')x0y0+y0+λps=0. 与(*)比较相同项系数,得:

参考文献

[1]杨昌龙,熊光汉.双曲线的几个有趣性质.中学数学 月刊.2005.10.

25

① kk'+λmq=A,

② 1+λnr=C,

③ k+k' λ(mr+nq)=0.

C 1

由②得:λ=, ④

nr

(1)将④代入③,得:

mr+nq

k+k' (C 1)=0.

nrmq

k+k'=(C 1)(+),

nrmq

k+k'=(1 C)[( )+( )],

nr

mq

又kMN= ,kST= .

nr

∴kPM+kPN=(1 C)(kMN+kST).

若kPM+kPN为定值,则kMN+kST为定值;反之,若kMN+kST为定值,则kPM+kPN为定值.

所以直线PM与PN的斜率之和为定值的充要条件是直线MN与ST的斜率之和为定值.

特别地,当kPM+kPN=0时,就得到上述猜想的结论.

(2)将④代入①,得:

mq

kk'+(C 1)=A.

nr

mq

kk'=A+(1 C)( )( )

nr

即kPMkPN=A+(1 C)kMNkST

若kPMkPN为定值,则kMNkST为定值;反之,若kMNkST为定值,则kPMkPN为定值.

所以,直线PM与PN的斜率之积为定值的充要条件是直线MN与ST的斜率之积为定值.

A+1

特别地,当kk'= 1时,kMNkST=,我

C 1

们得到下列结论.

结论 过二次曲线Γ:Ax2+Cy2+Dx +Ey+F=0外一点P作互相垂直的二直线

A+1

分别交T于S,M和T,N,则kMNkST=.

C 1

参考文献

[1] 徐元根.关于“圆锥曲线的一类定值问题”的再探 讨.数学通报.2002.1. 26

[2]姜坤崇,房秋菊.一个猜想的证明.数学通报.2002.9.

浅谈向量知识

在高中数学解题中的应用

福建邵武一中 高启长

向量作为高中新教材中新增加的重要内容之一,它既是代数研究的对象,又是几何研究的对象,是集“数、形”于一身的数学概念.通过向量的学习,一方面将我们对量的数学表达式的认识进入到一个新的领域,另一方面将增进我们的空间想象能力,思维能力和分析、解决实际问题的能力.向量是一个有用的数学工具,它的应用非常广泛,由于常规视角的转变,形成了新的探索途径,它不仅要求教师要学习新内容,而且要从思想方法上研究新内容的内涵实质,修整原有的认知,用向量的观点研究以往教材的知识结构体系,培养学生运用向量解决问题的意识.下面谈谈向量在高中数学解题中的应用. 1 向量知识在不等式中的应用

例1 (IMO-22试题)设P为△ABC内任一点,P到三边BC,CA,AB的距离依次为d1,d2, d3. 记BC=a,CA=b,AB=c,求证

abc(a+b+c)++≥. d1d2d32S+ABC推广 设P为体积为V的凸n面体内任

一点,P到面积为Si的n个面的距离为di(i= 1,2,",n,n≥3),求证∑

i=1n

Si

≥di

(∑si)2

i=1

n

3V

.

G

证明

设a=

G

b= 1n

注意到V=∑Sidi,由向量公式

3i=1

nnGGG

G2

|a b|≤|a||b|,得(∑Si)=(2

i=1i=1