【北师大版】2016秋九上期末训练(1)矩形中的折叠问题(附答案)

专题训练(一) 矩形中的折叠问题

(本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做)

1．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为(  )

  A．12             B．10               C．8             D．6

2．如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG＝60°.现沿直线GE将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则图中与∠BEG相等的角的个数为(  )

  A．5个             B．4个             C．3个            D．2个

3．如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，∠GFP＝62°，那么∠EHF的度数等于________．

4．把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.若AB＝3 cm，BC＝5 cm，则重叠部分△DEF的面积是________cm².

5．如图，折叠矩形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC＝10 cm，AB＝8 cm，求：

(1)FC的长；

(2)EF的长．

6．如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF，且AB＝10 cm，AD＝8 cm，DE＝6 cm.

(1)求证：四边形ABCD是矩形；

(2)求BF的长；

(3)求折痕AF长．

7．将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，4)，点C的坐标为(m，0)(m＞0)，点D(m，1)在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E.

(1)当m＝3时，求点B的坐标和点E的坐标；(自己重新画图)

(2)随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．

8．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10.

(1)求矩形ABCD的周长；

(2)E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上点F处．

①求DE的长；

②点P是线段CB延长线上的点，连接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的长．

(3)M是AD上的动点，在DC上存在点N，使△MDN沿折痕MN折叠，点D落在BC边上点T处，求线段CT长度的最大值与最小值之和．

参考答案

1.B 2.A 3.56° 4.5.1 

5.(1)由题意可得AF＝AD＝10 cm，

在Rt△ABF中，AB＝8 cm，AF＝10 cm，
∴BF＝6 cm.
∴FC＝BC－BF＝10－6＝4(cm)．

（2）由题意可得EF＝DE，可设EF的长为x，

则在Rt△EFC中，(8－x)²＋4²＝x²，解得x＝5，

即EF的长为5 cm. 

6.(1)证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，
∴AE＝AB＝10，AE²＝10²＝100.

又∵AD²＋DE²＝8²＋6²＝100，
∴AD²＋DE²＝AE².
∴△ADE是直角三角形，且∠D＝90°.

又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．

（2）设BF＝x，则EF＝BF＝x，EC＝CD－DE＝10－6＝4(cm)，FC＝BC－BF＝8－x，

在Rt△EFC中，EC²＋FC²＝EF²，

即4²＋(8－x)²＝x².

解得x＝5.

故BF＝5 cm.

(3)在Rt△ABF中，由勾股定理得AB²＋BF²＝AF²，
∵AB＝10 cm，BF＝5 cm，
∴AF＝＝5(cm)． 

7．(1)如图，点B的坐标为(3，4)．

∵AB＝BD＝3，
∴△ABD是等腰直角三角形．
∴∠BAD＝45°.
∴∠DAE＝∠BAD＝45°.
∴E在y轴上．AE＝AB＝BD＝3，
∴四边形ABDE是正方形，OE＝1.
∴点E的坐标为(0，1)．

（2）点E能恰好落在x轴上．

理由如下：∵四边形OABC为矩形，
∴BC＝OA＝4，∠AOC＝∠DCO＝90°.

由折叠的性质可得：DE＝BD＝OA－CD＝4－1＝3，AE＝AB＝OC＝m.

假设点E恰好落在x轴上，

在Rt△CDE中，由勾股定理可得EC＝＝＝2.

则有OE＝OC－CE＝m－2.

在Rt△AOE中，OA²＋OE²＝AE².

即4²＋(m－2)²＝m².

解得m＝3. 

8.(1)周长为2×(10＋8)＝36.

(2)①∵四边形ABCD是矩形，

由折叠对称性得AF＝AD＝10，FE＝DE.

在Rt△ABF中，由勾股定理得BF＝6，
∴FC＝4.

在Rt△ECF中，4²＋(8－DE)²＝EF²，

解得DE＝5.

②分三种情形讨论：若AP＝AF，∵AB⊥PF，∴PB＝BF＝6；

若PF＝AF，则PB＋6＝10.解得PB＝4；

若AP＝PF，在Rt△APB中，AP²＝PB²＋AB²，设PB＝x，则(x＋6)²－x²＝8².

解得x＝3(7).
∴PB＝3(7).

综合得PB＝6或4或3(7).

（3）当点N与C重合时，CT取最大值是8，

当点M与A重合时，CT取最小值为4，

所以线段CT长度的最大值与最小值之和为12.