全国数学联赛试题模拟

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上传时间：2015-04-15
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全国数学联赛试题模拟

2015全国数学联赛模拟题

第一试

一、选择题（每小题6分，共36分）：

a2 x2

1f x 是奇函数的充要条件是

x a a

（A）－1≤a＜0或0＜a≤1 （B）a≤－1或a≥1 （C）a＞0 （D）a＜0

2 （A）点A在直线l上（B）点B在直线l上（C）点C在直线l上（C）点A、B、C均不在直线l上 3，过顶点A在空间作直线l，使l与直线AC和BC所成的角1

都等于60°．这样的直线l可以做

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（A）4条（B）3条（C）2条（D）1条

100

4n C

200

（A）61 （C）83 （B）67 （D）97

5y f x

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x 大值等于（A）3 （B）4 （C）7 （D）8

6再染2个偶数2、4；再染4后面最邻近的3个连续奇数5、7、9；再染9后面最邻近的4个连续偶数10、12、14、16；再染此后最邻近的5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直染下去，得到一红色子数列1，2，第2003个数是（A）3844 （B）3943 （C）3945 （D）4006

二、填空题（每小题9分，共54分）：

＋1)2，A为直角顶点，且|z|＝2．设集合M＝{m|zm∈R，m∈N

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2015全国数学联赛模拟题

＝

，m∈M}．则集合P所有元素之和等于 m2

．

x2 2a2 2x a2 4a 7

0 222

x a 4a 5x a 4a 7

的解集是一些区间的并集，且这些区间的长度的和小于4，则实数a的取值范围是．

计项目M有可能获得19%到24%的年利润，N有可能获得29%到34%的年利润．年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户．为使银行的年利润不少于给M、N总投资的10%而不大于总投资的15%，则给储户的回扣率的最小值是．

2＋by2＝1在圆x2＋y2

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的外部（包括二者相切的情形）．那么，arcsinb的取值范围

是．

6、同底的两个正三棱锥内接于同一个球．已知两个正三棱锥的底面边长为a，球的半径为R．设两个正三棱锥的侧面与底面所成的角分别为、，则tan( ＋ )的值是．

三、（20分）

△ABC的三边长a、b、c（a≤b≤c）同时满足下列三个条件（i）a、b、c均为整数；

（ii）a、b、c依次成等比数列；（iii）a与c中至少有一个等于100．

求出(a,b,c)的所有可能的解．

四、（20分）

在三棱锥D-ABC中，AD＝a，BD＝b，AB＝CD＝c，且∠DAB＋∠BAC＋∠DAC＝180°，∠DBA＋∠ABC＋∠DBC＝180°．求异面直线AD与BC所成的角．

五、（20分）

设正系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．证明：（1） max{a,b,c}≥

2015全国数学联赛模拟题

（2） min{a,b,c}≤

第二试

一、（50分）

已知△ABC的外角∠EAC平分线与△ABC的外接圆交于D，以CD为直径

的圆分别交BC、CA于点P、Q．

求证：线段PQ平分△ABC的周长．

二、（50分）

三、（50分）

有2002名运动员，号码依次为1，2，3，…，2002．从中选出若干名运动

员参加仪仗队，但要使剩下的运动员中没有一个人的号码数等于另外两人的号码数的乘积．那么被选为仪仗队的运动员至少能有多少人？给出你的选取方案，并简述理由．

2015全国数学联赛模拟题

参考答案

第一试

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二、填空题：

, , 64 43

三、可能解为(100,100,100)，(100,110,121)，(100,120,144)，(100,130,169)，

四、

五（1）证略（提示：令a＋b＋c＝t，分b≥t和b＜t讨论）；

9911

（2）证略（提示：分a≤t和a＞t讨论）；

b2 c2

．

第二试

一、证略；

3 22 2

3 22

2015全国数学联赛模拟题

3 22 22

3 22 ，于是x

2yn 14－2y2＝1

无整数解，由数论只是可证）．

三、43．

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