2017届高考理科数学二轮复习训练：1-1-1 集合、常用逻辑用语（解析参考）

一、选择题

1．[2015·兰州双基过关]已知集合U＝R，A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∩(∁_UB)＝(  )

A．{x|x>1}   B．{x|x≥1}

C．{x|1<x≤2}    D．{x|1≤x≤2}

答案 D

解析 因为∁_UB＝{x|x≥1}，所以A∩(∁_UB)＝{x|1≤x≤2}，故选D.

2．[2015·郑州质量预测]已知集合A＝{x|x>2}，B＝{x|x<2m}且A⊆∁_RB，

那么m的值可以是(  )

A．1    B．2

C．3    D．4

答案 A

解析 由B＝{x|x<2m}，得∁_RB＝{x|x≥2m}．∵A⊆∁_RB，∴2m≤2，∴m≤1，故选A.

3．[2015·辽宁五校联考]设集合M＝{x|x²＋3x＋2<0}，集合N＝x≤4(1)，则M∪N＝(  )

A．{x|x≥－2}    B．{x|x>－1}

C．{x|x<－1}    D．{x|x≤－2}

答案 A

解析 因为M＝{x|x²＋3x＋2<0}＝{x|－2<x<－1}，N＝[－2，＋∞)，所以M∪N＝[－2，＋∞)，故选A.

4．已知全集U＝R，集合A＝{x|0<x<9，x∈R}和B＝{x|－4<x<4，x∈Z}关系的韦恩图如图所示，则阴影部分所示集合中的元素共有(  )

A．3个    B．4个

C．5个    D．无穷多个

答案 B

解析 由韦恩图可知，阴影部分可表示为(∁_UA)∩B.由于∁_UA＝{x|x≤0或x≥9}，于是(∁_UA)∩B＝{x|－4<x≤0，x∈Z}＝{－3，－2，－1,0}，共有4个元素．

5．命题“对任意x∈[1,2)，x²－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是(  )

A．a≥4    B．a>4

C．a≥1    D．a>1

答案 B

解析 要使得“对任意x∈[1,2)，x²－a≤0”为真命题，只需要a≥4，∴a>4是命题为真的一个充分不必要条件．

6．[2015·唐山一模]命题p：∃x∈N，x³<x²；命题q：∀a∈(0,1)∪(1，＋∞)，函数f(x)＝log_a(x－1)的图象过点(2,0)．则(  )

A．p假q真    B．p真q假

C．p假q假    D．p真q真

答案 A

解析 ∵x³<x²，∴x²(x－1)<0，∴x<0或0<x<1，在这个范围内没有自然数，命题p为假命题．∵f(x)的图象过点(2,0)，∴log_a1＝0，对∀a∈(0,1)∪(1，＋∞)的值均成立，命题q为真命题．

7．[2015·大连双基测试]命题“对任意x∈R，都有x²≥ln 2”的否定为(  )

A．对任意x∈R，都有x²<ln 2

B．不存在x∈R，都有x²<ln 2

C．存在x∈R，使得x²≥ln 2

D．存在x∈R，使得x²<ln 2

答案 D

解析 按照“任意”改“存在”，结论变否定的模式，应该为存在x∈R，使得x²<ln 2.故选D.

8．[2015·贵州七校联考]以下四个命题中，真命题的个数是(  )

①“若a＋b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题．

②存在正实数a，b，使得lg (a＋b)＝lg a＋lg B.

③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”．

④在△ABC中，A<B是sinA<sinB的充分不必要条件．

A．0    B．1

C．2    D．3

答案 C

解析 ①原命题的逆命题为：若a，b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2，而a＝2，b＝－2满足条件a，b中至少有一个不小于1，但此时a＋b＝0，故是假命题；②根据对数的运算性质，知当a＝b＝2时，lg (a＋b)＝lg a＋lg b，故是真命题；③“所有奇数都是素数”的否定为“至少有一个奇数不是素数”，③是真命题；④根据题意，结合边角的转换，以及正弦定理，可知A<B⇔a<b(a，b为角A，B所对的边)⇔2RsinA<2RsinB(R为△ABC外接圆的半径)⇔sinA<sinB，故可知A<B是sinA<sinB的充要条件，故是假命题．选C.

9．[2015·浙江高考]设A，B是有限集，定义：d(A，B)＝card(A∪B)－card(A∩B)，其中card(A)表示有限集A中元素的个数．

命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d(A，B)>0”的充分必要条件；

命题②：对任意有限集A，B，C，d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)．(  )

A．命题①和命题②都成立

B．命题①和命题②都不成立

C．命题①成立，命题②不成立

D．命题①不成立，命题②成立

答案 A

解析 由题意，d(A，B)＝card(A)＋card(B)－2card(A∩B)≥0，对于命题①，A＝B⇔card(A∪B)＝card(A∩B)⇔d(A，B)＝0，∴A≠B⇔d(A，B)>0，命题①成立．对于命题②，由韦恩图易知命题②成立，下面给出严格证明：d(A，C)≤d(A，B)＋d(B，C)⇔card(A)＋card(C)－2card(A∩C)≤card(A)＋card(B)－2card(A∩B)＋card(B)＋card(C)－2card(B∩C)⇔card(A∩C)≥card(A∩B)＋card(B∩C)－card(B)⇒card(A∩C)≥card[(A∪C)∩B]－card(A∩B∩C)－card(B)．因为card(A∩C)≥0且card[(A∪C)∩B]－card(A∩B∩C)－card(B)≤0，故命题②成立．

10．给定下列四个命题：

命题p：当x>0时，不等式ln x≤x－1与ln x≥1－x(1)等价；

命题q：不等式e^x≥x＋1与ln (x＋1)≤x等价；

命题r：“b²－4ac≥0”是“函数f(x)＝3(1)ax³＋2(1)bx²＋cx＋d(a≠0)有极值点”的充要条件；

命题s：若对任意的x∈2(π)，不等式a<x(sinx)恒成立，

则a≤π(2).

其中为假命题的是(  )

A．(綈s)∧p    B．(綈q)∧s

C．(綈r)∧p    D．綈(q∧p)

答案 A

解析 由x(1)>0，ln x≤x－1，得ln x(1)≤x(1)－1，即ln x≥1－x(1)，故命题p为真命题；由于x的取值范围不同，故命题q是假命题；当b²－4ac＝0时，函数f(x)无极值点，故命题r是假命题；设h(x)＝x(sinx)2(π)，由于函数h(x)＝x(sinx)在2(π)上是减函数，故x(sinx)>π(2)，a≤π(2)，即命题s是真命题．根据复合命题的真值表可知选A.

二、填空题

11．已知条件p：－3≤x<1，条件q：x²＋x<a²－a，且p为q的必要而不充分条件，则a的取值范围是________．

答案 [－1,2]

解析 条件q：由x²＋x<a²－a得x²＋x－a²＋a<0，即(x＋a)[x－(a－1)]<0，

当－a<a－1，即a>2(1)时，不等式的解为－a<x<a－1；

当－a＝a－1，即a＝2(1)时，不等式的解为∅；

当－a>a－1，即a<2(1)时，不等式的解为a－1<x<－a.

由p为q的必要而不充分条件，可知

当a>2(1)时，由{x|－a<x<a－1}{x|－3≤x<1}，

得1≥a－1，(－3≤－a，)解得2(1)<a≤2；

当a＝2(1)时，因为空集是任意一个非空集合的真子集，所以显然满足条件；

当a<2(1)时，由{x|a－1<x<－a}{x|－3≤x<1}，得1≥－a，(－3≤a－1，)解得－1≤a<2(1).

综上，a的取值范围为[－1,2]．

12．[2015·贵阳监测]已知全集U＝{a₁，a₂，a₃，a₄}，集合A是集合U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a₁∈A，则a₂∈A；②若a₃∉A，则a₂∉A；③若a₃∈A，则a₄∉A.则集合A＝________.(用列举法表示)

答案 {a₂，a₃}

解析 若a₁∈A，则a₂∈A，则由若a₃∉A，则a₂∉A可知，a₃∈A，假设不成立；若a₄∈A，则a₃∉A，则a₂∉A，a₁∉A，假设不成立，故集合A＝{a₂，a₃}．

13．[2015·山东高考]若“∀x∈4(π)，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．

答案 1

解析 由已知可得m≥tanx4(π)恒成立．设f(x)＝tanx4(π)，显然该函数为增函数，故f(x)的最大值为f4(π)＝tan4(π)＝1，由不等式恒成立可得m≥1，即实数m的最小值为1.

14．给出下列命题：

①若A，B，C，D是不共线的四点，则→(AB)＝→(DC)是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；

    ②向量a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；

③在△ABC中，sinA>sinB的充要条件为A>B；

④在△ABC中，设命题p：△ABC是等边三角形，命题q：a∶b∶c＝sinB∶sinC∶sinA，那么命题p是命题q的充分不必要条件．

其中正确的命题为________．(把你认为正确的命题序号都填上)

答案 ①③

解析 ①正确．因为→(AB)＝→(DC)，所以|→(AB)|＝|→(DC)|且→(AB)∥→(DC)，又A，B，C，D是不共线的四点，所以四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则→(AB)∥→(DC)且|→(AB)|＝|→(DC)|，因此→(AB)＝→(DC).

②不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．

③正确．由正弦定理知sinA＝2R(a)，sinB＝2R(b)，当sinA>sinB成立时，得a>b，则A>B；当A>B时，则有a>b，则sinA>sinB，故命题正确．

    ④不正确．若△ABC是等边三角形，则a＝b＝c，sinB＝sinC＝sinA，即命题p是命题q的充分条件；若a∶b∶c＝sinB∶sinC∶sinA，则sinA(sinC)＝c(b)，又由正弦定理得sinA(a)＝sinC(c)，即sinA(sinC)＝a(c)，所以a(c)＝c(b)，即c²＝ab，同理得a²＝bc，b²＝ac，所以c＝a＝b，所以△ABC是等边三角形．因此命题p是命题q的充要条件．

综上所述，正确命题的序号是①③.