2017届高考理科数学二轮复习训练:1-2-4 高考中的三角函数(解答题型)(参考解析)
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2017届高考理科数学二轮复习训练:1-2-4 高考中的三角函数(解答题型)(参考解析)
1.[2015·甘肃一诊]在△ABC中,角A,B,C对边分别为a,b,c,若bcosA+acosB=-2ccosC.
(1)求角C的大小;
(2)若a+b=6,且△ABC的面积为2,求边c的长.
解 (1)由正弦定理得sinBcosA+sinAcosB=-2sinCcosC,
∴sin(A+B)=-2sinCcosC,
化简得sinC=-2sinCcosC.
∵0<∠C<π,∴sinC≠0,
∴cosC=-2(1),∴∠C=120°.
(2)∵a+b=6,∴a2+b2+2ab=36.
又∵△ABC的面积为2,∠C=120°,
∴2(1)absinC=2,∴ab=8,∴a2+b2=20.
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC=20-2×8×2(1)=28.
∴c=2.
2.[2015·天津五区县调考]已知函数f(x)=sinxcosx-cos2x+2(1)(x∈R).
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)函数f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍,再向右平移6(π)个单位长度,得到g(x)的图象,求函数y=g(x)在x∈[0,π]上的最大值及最小值.
解 (1)f(x)=sinxcosx-cos2x+2(1)=2(3)sin2x-2(1)cos2x=sin6(π)
由2kπ-2(π)≤2x-6(π)≤2kπ+2(π)得kπ-6(π)≤x≤kπ+3(π)(k∈Z),
所以函数f(x)的单调递增区间为3(π)(k∈Z).
(2)函数f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍,再向右平移6(π)个单位,得g(x)=sin3(π),
因为x∈[0,π]得:x-3(π)∈3(2π),所以sin3(π)∈,1(3)
所以当x=0时,g(x)=sin3(π)有最小值-2(3),
当x=6(5π)时,g(x)=sin3(π)有最大值1.
3.[2015·济宁模拟]已知向量m=,1(x),n=4(x),记f(x)=m·n.
(1)若f(x)=1,求cos3(π)的值;
(2)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC,求f(2A)的取值范围.
解 (1)f(x)=m·n=sin4(x)cos4(x)+cos24(x)
=2(3)sin2(x)+2(1)cos2(x)+2(1)=sin6(π)+2(1),
因为f(x)=1,所以sin6(π)=2(1),
所以cos3(π)=1-2sin26(π)=2(1).
(2)因为(2a-c)cosB=bcosC,
由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,
所以2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC,
所以2sinAcosB=sin(B+C).
因为A+B+C=π,所以sin(B+C)=sinA,且sinA≠0,
所以cosB=2(1),又0<B<2(π),所以B=3(π).
则A+C=3(2)π,A=3(2)π-C,又0<C<2(π),
则6(π)<A<2(π),得3(π)<A+6(π)<3(2π),
所以2(3)<sin6(π)≤1又因为f(2A)=sin6(π)+2(1),故函数f(2A)的取值范围是2(3).
4.[2015·陕西质检(二)]在△ABC中,sinA=sinB=-cosC.
(1)求角A,B,C的大小;
(2)若BC边上的中线AM的长为,求△ABC的面积.
解 (1)由sinA=sinB且A、B为△ABC内角,可知A=B,
从而有C=π-2A.
又sinA=-cosC=cos2A=1-2sin2A,
∴2sin2A+sinA-1=0,
∴sinA=-1(舍去),或sinA=2(1).
故A=B=6(π),C=3(2π).
(2)设BC=2x,则AC=2x,在△ACM中,AM2=AC2+MC2-2AC·MCcosC,
∴7=4x2+x2-2·2x·x·cos3(2π),
∴x=1,
∴△ABC的面积S=2(1)·CA·CB·sinC=2(1)·2x·2x·sin3(2π)=.
5.[2015·贵州八校联考]在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(a+b,sinA-sinC),向量n=(c,sinA-sinB),且m∥n.
(1)求角B的大小;
(2)设BC中点为D,且AD=,求a+2c的最大值及此时△ABC的面积.
解 (1)因为m∥n,故有(a+b)(sinA-sinB)-c(sinA-sinC)=0
由正弦定理可得(a+b)(a-b)-c(a-c)=0,即a2+c2-b2=ac,
由余弦定理可知cosB=2ac(a2+c2-b2)=2ac(ac)=2(1),因为B∈(0,π),所以B=3(π).
(2)设∠BAD=θ,则在△BAD中,
由B=3(π)可知θ∈3(2π),
由正弦定理及AD=有sinθ(BD)=-θ(2π)=3(π)=2;
所以BD=2sinθ,AB=2sin-θ(2π)=cosθ+sinθ,
所以a=2BD=4sinθ,c=AB=cosθ+sinθ,
从而a+2c=2cosθ+6sinθ=4sin6(π),
由θ∈3(2π)可知θ+6(π)∈6(5π),所以当θ+6(π)=2(π),
即θ=3(π)时,a+2c的最大值为4;
此时a=2,c=,所以S=2(1)acsinB=2(3).
6.[2015·厦门质检]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=2(π),AC=3,BC=2,P是△ABC内的一点.
(1)若P是等腰直角三角形PBC的直角顶点,求PA的长;
(2)若∠BPC=3(2π),设∠PCB=θ,求△PBC的面积S(θ)的解析式,并求S(θ)的最大值.
解 (1)解法一:∵P是等腰直角三角形PBC的直角顶点,且BC=2,
∴∠PCB=4(π),PC=,
又∵∠ACB=2(π),∴∠ACP=4(π),
在△PAC中,由余弦定理得PA2=AC2+PC2-2AC·PCcos4(π)=5,
∴PA=.
解法二:依题意建立如图直角坐标系,则有C(0,0),B(2,0),A(0,3),
∵△PBC是等腰直角三角形,∠ACB=2(π),
∴∠ACP=4(π),∠PBC=4(π),
∴直线PC的方程为y=x,直线PB的方程为y=-x+2,
由y=-x+2(y=x)得P(1,1),
∴PA==,
(2)在△PBC中,∠BPC=3(2π),∠PCB=θ,
∴∠PBC=3(π)-θ,
由正弦定理得3(2π)=sinθ(PB)=-θ(π),
∴PB=3(3)sinθ,PC=3(3)sin-θ(π),
∴△PBC的面积S(θ)=2(1)PB·PCsin3(2π)
=3(3)sin-θ(π)sinθ
=2sinθcosθ-3(3)sin2θ=sin2θ+3(3)cos2θ-3(3)
=3(3)sin6(π)-3(3),θ∈3(π),
∴当θ=6(π)时,△PBC面积的最大值为3(3).
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