2017届高考理科数学二轮复习训练：1-7-1 几何证明选讲（选修4－1）（参考解析）

1．[2015·郑州质量预测(一)]如图所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG＝PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F.

(1)求证：AB为圆的直径；

(2)若AC＝BD，AB＝5，求弦DE的长．

解 (1)证明：因为PG＝PD，所以∠PDG＝∠PGD.

由于PD为切线，故∠PDA＝∠DBA，

又因为∠EGA＝∠PGD，

所以∠EGA＝∠DBA，

所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD，

从而∠PFA＝∠BDA.

又AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，所以∠BDA＝90°，

故AB为圆的直径．

(2)连接BC，DC.

由于AB是直径，故∠BDA＝∠ACB＝90°.

在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD，

从而得Rt△BDA≌Rt△ACB，

于是∠DAB＝∠CBA.

又因为∠DCB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB.

因为AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE为直角，

所以ED为直径，又由(1)知AB为圆的直径，所以DE＝AB＝5.

2．[2015·河北名校联盟质监(二)]已知△ABC中，AB＝AC，D为△ABC外接圆劣弧︵上的点(不与点A、C重合)，延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F.

 (1)求证：∠CDF＝∠EDF；

(2)求证：AB·AC·DF＝AD·FC·FB.

证明 (1)∵A、B、C、D四点共圆，

∴∠CDF＝∠ABC.

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，

且∠ADB＝∠ACB，

∠EDF＝∠ADB＝∠ACB＝∠ABC，

∴∠CDF＝∠EDF.

(2)由(1)得∠ADB＝∠ABF，又∵∠BAD＝∠FAB，

∴△BAD与△FAB相似，∴AF(AB)＝AB(AD)，

∴AB²＝AD·AF，又∵AB＝AC，∴AB·AC＝AD·AF，∴AB·AC·DF＝AD·AF·DF，

根据割线定理得DF·AF＝FC·FB，

∴AB·AC·DF＝AD·FC·FB.

3．[2015·江西八校联考]如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连接CB，并延长与直线PQ相交于Q点．

(1)求证：QC·BC＝QC²－QA²；

(2)若AQ＝6，AC＝5，求弦AB的长．

解 (1)证明：∵PQ与⊙O相切于点A，∴∠PAC＝∠CBA，

∵∠PAC＝∠BAC，∴∠BAC＝∠CBA，

∴AC＝BC，

由切割线定理得：

QA²＝QB·QC＝(QC－BC)QC，

∴QC·BC＝QC²－QA².

(2)由AC＝BC＝5，AQ＝6及(1)，知QC＝9，

由∠QAB＝∠ACQ知△QAB∽△QCA，

∴AC(AB)＝QC(QA)，∴AB＝3(10).

4．[2015·郑州质量预测(二)]如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB＝BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F.

(1)求证：AC·BC＝AD·AE；

(2)若AF＝2，CF＝2，求AE的长．

解 (1)证明：连接BE，由题意知△ABE为直角三角形．

因为∠ABE＝∠ADC＝90°，∠AEB＝∠ACB，所以△ABE∽△ADC，

所以AD(AB)＝AC(AE)，即AB·AC＝AD·AE.

又AB＝BC，所以AC·BC＝AD·AE.

(2)因为FC是圆O的切线，所以FC²＝FA·FB，

又AF＝2，CF＝2，所以BF＝4，AB＝BF－AF＝2，

因为∠ACF＝∠FBC，又∠CFB＝∠AFC，所以△AFC∽△CFB，

所以FC(AF)＝BC(AC)，得AC＝FC(AF·BC)＝，cos∠ACD＝4(2)，

所以sin∠ACD＝4(14)＝sin∠AEB，

所以AE＝sin∠AEB(AB)＝7(14).

5.

[2015·课标全国卷Ⅱ]如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．

(1)证明：EF∥BC；

(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝2，求四边形EBCF的面积．

解 (1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．

又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF.从而EF∥BC.

(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线．又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．

连接OE，OM，则OE⊥AE.

由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE＝30°.因此△ABC和△AEF都是等边三角形．

因为AE＝2，所以AO＝4，OE＝2.

因为OM＝OE＝2，DM＝2(1)MN＝，所以OD＝1.

于是AD＝5，AB＝3(3).所以四边形EBCF的面积为2(1)×3(3)²×2(3)－2(1)×(2)²×2(3)＝3(3).

6.

如图，已知AD为圆O的直径，AB为圆O的切线，割线BMN交AD的延长线于点C，且BM＝MN＝NC，AB＝2.

(1)求圆心O到割线BMN的距离；

(2)求CD的长．

解 

(1)设BM＝x(x>0)，则由切割线定理得BA²＝BM·BN，

又BM＝MN＝NC，则(2)²＝x(x＋x)，得x＝2，从而BC＝6，由勾股定理得

AC＝＝2，

过O作OP⊥MN于点P，则CP＝3，易证△ABC∽△POC，则AB(OP)＝CA(CP)，

所以OP＝CA(AB·CP)＝7(2×3)＝7(14).

(2)连接OM，在Rt△OPM中，OM＝＝7(7)，即圆O的直径AD为7(7)，从而CD的长为2－7(7)＝7(7).