2012年全国高中数学联赛试题及详细解析

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上传时间：2015-04-15
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2012年全国高中数学联赛试题及详细解析

2012年全国高中数学联赛

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．

（x 0）的图像上任意一点，过点P分别向 x

直线y x和y轴作垂线，垂足分别为A,B，则PA PB的值是

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_____________.

1.设P是函数y x

6.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x 0时，f(x) x ．若对任意的x [a,a 2]，不等式f(x a) 2f(x)恒成立，则实数a的取值范围是_____________.

1 1

sin 的所有正整数n的和是_____________. 4n3

8．某情报站有A,B,C,D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从

7．满足

上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用Ａ种密码，那么第7周也使用A种密码的概率是_____________.（用最简分数表示）

二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）已知函数f(x) asinx

131

cos2x a ,a R,a 0 2a2

（1）若对任意x R，都有f(x) 0，求a的取值范围；（2）若a 2，且存在x R，使得f(x) 0，求a的取值范围．

10．（本小题满分２０分）已知数列 an 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n，都有

(a1 a2

an)2 a1 a2 3

（1）当n 3时，求所有满足条件的三项组成的数列a1,a2,a3;

（2）是否存在满足条件的无穷数列{an}，使得a2013 2012?若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．

如图5，在平面直角坐标系XOY中，菱形ABCD的边长为4，且OB OD 6．（1）求证：|OA| |OC|为定值；

（2）当点A在半圆(x 2)2 y2 4（2 x 4）上运动时，求点C的轨迹．

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三、（本题满分50分）设P,Pn是平面上n 1个点，它们两两间的距离的最小值为d(d 0)

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0,P1,P2,求证：P0P1 P0P2

P0Pn ()

设Sn 1

，n是正整数．证明：对满足0 a b 1的任意实数a,b，数列2n

{Sn [Sn]}中有无穷多项属于(a,b)．这里，[x]表示不超过实数x的最大整数．

2012年全国高中数学联赛一试及加试试题

参考答案及详细评分标准(A卷word版)

一、填空题：本大题共８小题，每小题８分，共６４分．把答案填在题中的横线上．１．设P是函数y x

轴作垂线，垂

足分别为A,B，则PA PB的值是．

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（x 0）的图像上任意一点，过点P分别向直线y x和yx

２．设 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足acosB bcosA 则

c， 5

tanA

的值是 . tanB

【答案】4

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３．设x,y,z

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[0,1]，则M

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【解析】不妨设0

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x y z

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1,则M

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时上式等号同时成立.故Mmax 1. 2

所以M 11. 当且仅当y x z y,x 0,z

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1,y

4.抛物线y 2px(p 0)的焦点为F，准线为ｌ，A,B是抛物线上的两个动点，且满足

AFB

|MN|．设线段ＡＢ的中点M在ｌ上的投影为N，则的最大值3|AB|

是 .

【答案】1

AF BF

. 2

222

在 AFB中,由余弦定理得AB AF BF 2AF BFcos

AF BF2

) (AF BF)2 3AF BF (AF BF)2 3(

AF BF22 () MN.

当且仅当AF BF时等号成立.故的最大值为1.

【解析】由抛物线的定义及梯形的中位线定理得MN

5．设同底的两个正三棱锥P ABC和Q ABC内接于同一个球．若正三棱锥P ABC的侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥Q ABC的侧面与底面所成角的正切值是．

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6. 设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x 0时，f(x) x．若对任意的x [a,a 2]，不等式f(x a) 2f(x)恒成立，则实数a的取值范围是．

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【答案】

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７．满足

1 1

sin 的所有正整数n的和是． 4n3

【答案】33

【解析】由正弦函数的凸性,有当x (0,

)时,

x sinx x,由此得

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