59数学问题解答

２０１４年第５３卷第１２期

数学通报

５９

数学问题解答

２０１４年１１月号问题解答

（解答由问题提供人给出）

（陕西省西安铁一中刘康宁７１００５４）证明

由口。＋。＝

１＋以干万’

口＂＋１

口Ｈ

’、，口：

“ｌ

√３

６。＝６。一１＋￣／１＋６：一ｌ＜：６。一１＋２６。一ｌ一３６。一１，

ＤＨ一１

Ｃ

图ｌ

万方数据

龛蔷，过Ｋ作直线ＫＥＦ交ＡＤ和ＡＢ于Ｅ和Ｆ，

过Ｋ作直线ＫＭＮ交ＣＤ和ＣＢ于Ｍ和Ｎ，联结

ＥＭ和ＦＮ分别交ＢＤ于Ｐ和Ｑ．证明：去＋志

１

１

ＫＢ。ＫＤ’

（广西钦州市新兴街３０号祥和景都２栋２单元卢圣

５３５０００）

硼即疗

墨涵

ＥＫ ＭＫｓｉｎ么ＥＫＭＥＤ ＭＤ文ｎ么ＥＤＭ’

ＫＱ—Ｓ△ＫＦＮ—ＦＫ ＮＫｓｉｎ么ＦＫＮＱＢＳ△骶ＮＢＦ ＢＮ小ｎ么ＦＢＮ‘

所以等 器＝器 糌 篆 篇

ｓｉｎ么ＥＫＭ

ｓｉｎ么ＦＢＮｓｉｎ么ＦＫＮ

ｓｉｎ么ＥＤＭ：！ｉ垒』巨旦丝．！ｉ望兰垒竺旦丝．！ｉ翌么￡鉴堡．

ｓｉｎ么ＥＫＤ

ｓｉｎ么ＭＫＤｓｉｎ么ＦＢＫ

！！坠兰盟鉴旦．曼ｉ旦』￡里盟

ｓｉｎ么ＮＢＫ

ｓｉｎ么ＥＤＭ

：曼ｉ呈』星旦鉴．！ｉ呈』型里鉴

ｓｉｎ么ＦＢＫ

ｓｉｎ么ＮＢＫ

＝＝“●

！ｉ翌』叁堡旦．！！望兰竺旦曼．！ｉ翌兰垒旦ｇ

●一

ｓｉｎ么ＦＢＮ

ｓｉｎ么ＥＤＭ

ｓｉｎ么ＡＢＤ

ｓｉｎ么ＣＢＤｓｉｎ么ＡＤＣ

ＡＢ

ＣＢ

ｓｉｎ么ＡＢＣＡＤ

ＣＤ

ｓｉｎ么ＡＤＣ

—Ｓ△ＡＢｃ—Ｂ０一ＢＫ

Ｓ△ＡＤｃ

ｏＤＫＤ‘筒矗‰

ＫＢ—ＫＱ—ＢＫ

ＫＱ

ＫＤ—ＫＢ—ＫＱ—ＫＰ—ＫＤ

—ＫＱ ＫＢＫＤ ＫＰ

１

１

１

１

一ＫＱ

ＫＢＫＤＫＰ

筒去＋志一志＋志．

２２１１已知数列｛ｎ。）、｛６。）满足口。一６。＝√虿，口¨

２赢＾＋１＿”瓜，竹＿１＇２，…，

求证：２＜口。６。≤３（靠∈Ｎ＋）．

得去一去＋√，＋麦

令ｃ。一土，则ｃ。＋，＝厶＋／而．

因为ｃ，一土：占，所以。。：缸

所以ｆ。＝６。一Ｊ，聍≥２．

所以当挖≥２时，口。６。一红一旦．

又以＝６。一。＋／门雨＞６。一，＋６。一。一２６。一。，

所以２＜｝＜３，即２＜口。６。＜３．

又２＜口１６１—３，故２＜口。６。≤３（ｎ∈Ｎ＋）．

２２１２如图１，四边形ＡＢＣＤ的两条对角线ＡＣ，

ＢＤ交于ｏ，Ｋ为直线阜Ｄ上的一点，且器一

６０

数学通报

２０１４年第５３卷第１２期

２２１３

已知ｚ，ｙ是满足ｚ＋ｙ２２的正数，卯是不

小于２的整数，求证：

ｚ掣ｙ掣（ｚ“＋ｙｎ）≤２．

ｚ

２

Ｖ

２

Ｌｚ”十ｖ”Ｊ冬Ｚ．（江西南昌大学附中宋庆３３００４７）

证明

行一２时，

ｚ掣ｙ掣（ｚ”＋ｙ一）一ｚｙ（ｚ２＋ｙ２）

一２州２一圳≤２（堕等型）２—２，

咒一３时，

ｚ掣了掣（ｚｎ＋了ｎ）一ｚ３ｙ３（ｚ３＋ｙ３）

ｚ——Ｅ—ｖ——广（ｚ”十ｖ”）一ｚ。ｖ３（ｚ５十ｙ３）

一２办３（４—３圳≤２（型乜！生产±塑）４

—２．

假设咒≤优一１（ｍ是不小于３的整数）时原不等式成立，

下面证明押一ｍ时原不等式成立．

（１）ｍ一２是（是是不小于２的整数）时，矗＜ｍ

一１．

２≥ｚ掣ｙ掣（ｚｔ＋少）

≥ｚ掣ｙ掣沂瓦百耳歹丽

＝ｚ一ｚ掣ｖ掣新７ｑｉ征霞矛—尹厂２

ｖ

２

√Ｌｚ一十Ｖ一十Ｚｚ‘ｙ‘）。

一ｚ掣ｙ掣狮７厂石征可百，

故１６≥８ｚ强“．１’¨ｙ孙“＿１Ｈ‘（ｚ２‘＋ｙ２６），

即ｚ２掣ｙ２掣（ｚ２‘＋了２‘）≤２，

亦即工业产ｙ芈产（ｚｍ＋ｙｍ）≤２；

（２）ｍ一２志＋１（志是不小于２的整数）时，愚＜

ｍ一１，且是＋１＜优一１，

２≥ｚ掣ｙ掣（≯＋ｙ‘），２≥ｚ半ｙ半（∥＋ ＋ｙ川），

以Ｅ两式相乘，可得

４≥ｚ６２ｙ∥（ｚ６＋ｙ‘）（ｚ‘＋１＋ｙ‘＋１）

一ｚ，ｙ‘２（ｚ２‘＋１＋ｙ２＾＋１）＋２ｚ‘２＋‘ｙ，＋‘，

或

于是２—２（丛丝≤掣）２

２／＋ｔ厂＋ｔ（２一／＋ｔｙｔ２＋ｔ）

≥ｚ２‘２＋‘ｙ２‘２＋‘（ｚ２‘＋１＋ｙ２‘＋１），

≥２ｚｔ２＋ｔｙｅ２＋‘（２一ｚ女２＋‘ｙ６２＋‘）≥ｚ２｛２＋‘ｙ２＾２十‘（ｚ２‘＋１＋ｙ孙＋１），

万方数据

故ｚ２‘‘＋‘ｙ即ｚ竿ｙ掣（ｚｍ＋３，ｍ）≤２．

２∥＋‘（ｚ２抖１＋ｙ２计１）≤２，

所以，行一ｍ时原不等式也成立．

综上可知，对任何不小于２的整数行原不等式都成立．

２２１４

圆内接四边形Ａ８ＣＤ，ＡＤ与ＢＣ的延长

线相交于Ｐ，ＡＣ与ＢＤ交于Ｈ，△ＡＢＨ与△ＤＣＨ的垂心分别为Ｅ、Ｆ（如图１），求证：Ｅ、Ｆ、Ｐ三点共线．

圈ｌ

（江西师大鹰潭学院王建荣３３５０００）

证明ＡＥ的延长线分别交ＢＨ于Ｑ、交ＤＦ的延长线于Ｎ，ＤＦ交ＨＣ于Ｋ，ＢＥ的延长线分别交ＡＨ于ｗ、交ＣＦ的延长线于Ｍ（如图２），显然四边形ＭＥＮＦ是平行四边形．

圈Ｚ

分析：女Ⅱ果酱 器 篇＿１，

则由梅氏定理可知Ｅ、Ｆ、Ｐ三点共线，因为Ａ、Ｑ、Ｋ、Ｄ四点共圆，所以么ＢＡＥ一么ＣＤＦ．同理

么ＡＢＥ一么ＤＣＦ．

因此器一慧，因为△ＡＥｗ∽△ｃＭｗ，所以器一焉ｊ器一篇．

２０１４年第５３卷第１２期数学通报

６１

同理△ＢＥＱ∽△ＤＮＱ，

所以器一器净器一器，

所以

丽一丽矿１丽面。

ＥＭ—ＷＥ ＡＣ ＱＤ

又因为△ＡＥ’骱△ＤＮＱ，

所以器等乩故嚣＝篙；

因为△ＡＰＣ∽△ＢＰＤ和△ＰＤＣ∽△ＰＢＡ，

所以筹＝器，等＝器，因此訾 器 篙一篙 芫 慧乩

２２１５已知正数口，６，ｃ满足

（掣）２＋（鼍岩）２＋（笔乒）２

＜３。

求证：ｎ，６，ｃ可以为三角形的三边．

（四川成都金牛西林巷１８号华鑫园Ａ６０１宿晓阳６１００３１）

（掣）２＋（等）２。３＜ｏ

证明：易知条件舒（笙等）２＋

＋［（笔乒）２一，］＜。

（掣＋，）（掣一 ）＋（等＋，）（掣一 ）＋＋ ）（等一，）＜。

（６＋ｆ＋口）（６＋ｆ一口）

（６一ｃ＋口）（６一ｆ一口）

２６ｃ

２６ｃ

＋

（ｆ＋口＋６）（ｃ＋口一６）

２ｃｎ

（乜＋６＋ｃ）（ｎ＋６一ｃ）

２口６

虹丛掣＜ｏ

２口６

一

。、（口２＋６２＋，）（口＋６＋ｃ）（６＋ｃ—ｎ）（ｃ＋口一６）（口＋６一ｆ）４口一Ｄ＿Ｃ一

＞０

万方数据

据对称性，不妨设口≥６≥ｃ，则ｃ＋口一６＞ｏ，口＋６一ｆ＞Ｏ．于是由（１）知６＋ｃ—ｎ＞ｏ．从而有ｃ＋口＞６，口＋６＞ｆ，６＋ｆ＞口．故ｎ，６，ｆ可以为三角形的三边．

２０１４年１２月号问题

（来稿请注明出处——编者）

２２１６设口ｊ＞０，ｉ一１，２，…，挖，求证：

∑砭》怕叫箍．

（湖北省公安县第一中学杨先义４３４３００）ｃ），ｐ为长方体各棱长之和，Ｓ为表面积，ｄ为一条对角线长，求证：

口＞吉（手＋∥巧），

ｃ＜÷（鲁一再）．

（四川省资阳市外国语实验学校蔡勇全

已知△ＡＢＣ，Ａ≥１，证明：

．＝Ｉ＋ｃｏｓ２Ａ＋ｃｏｓ２Ｂ。Ａ＋ｃｏｓ２Ｂ＋ｃｏｓ２Ｃ‘

————————里———一牟————————！———一士

Ｆ瓦磊ｔ耳ｉ菇啄≮丽‘

（江苏省常熟市中学查正开２１５５００）

一器一墨，这里ｃｏｓＡ＇ｃｏｓＢ＇ｃｏｓｃ中的Ａ’Ｂ＇

（河南省辉县市一中贺基军４５３６００）

丽十而十孺＜了（口十６十ｃ）‘燕＋—笔＋ｊ‰＜号（口＋６＋ｃ）．

（陕西咸阳师范学院基础教育课程研究中心２２１７设长方体的长、宽、高分别为口、６、ｃ（口＞６＞骨［（笔≯）２一 ］＋［（４岩）２一 ］２２１８

甘（掣甘２２１９已知Ｐ为△ＡＢｃ内部一点，且满足点击

Ｃ表示三角形的内角．求证：Ｐ为△ＡＢＣ的垂心．

２２２０设口，６，ｆ是△ＡＢＣ的三边长，求证：

安振平７１２０００）

曰—————————砑移丁——————一