2013年全国高中数学联赛试题及详细解析

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2013年全国高中数学联赛试题及详细解析

2013年全国高中数学联合竞赛一试试题

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．

1. 设集合A {2,0,1,3}，集合B {x| x A,2 x2 A}．则集合B中所有元素的和为．

2. 在平面直角坐标系xOy中，点A、B在抛物线y 4x上，满足OA OB 4，2

F是抛物线的焦点. 则S OFA S OFB

3. 在 ABC中，已知sinA 10sinBsinC,cosA 10cosBcosC,则tanA的值为．

4. 已知正三棱锥P ABC底面边长为1，

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高为，则其内切球半径为

5. 设a,b为实数，函数f(x) ax b满足：对任意x [0,1]，有f(x) 1. 则ab的最大值为．

6. 从1,2, ,20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为．

7. 若实数x,y

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满足x ，则x的取值范围是

8. 已知数列{an}共有9项，其中a1 a9 1，且对每个i {1,2, ,8}，均有 ai 1 1 2,1, ，则这样的数列的个数为． ai 2

二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

9.（本题满分16分）给定正数数列{xn}满足Sn≥2Sn 1,n=2,3, ，这里Sn=x1+ +xn．证明：存在常数C>0，使得

xn≥C 2n,n=1,2, ．

10.（本题满分20分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为x2y2

右顶点，F1、F2分别为椭圆的左、 1(a b 0)，A1、A2分别为椭圆的左、a2b2

右焦点，P为椭圆上不同于A1和A2的任意一点．若平面中两个点Q、R满足QA1 PA1，QA2 PA2，RF1 PF1，RF2 PF2，试确定线段QR的长度与b的大小

关系，并给出证明．

11. （本题满分20分）设函数f(x) ax2 b，求所有的正实数对(a,b)，使得对任意实数x,y，有 f(xy) f(x y) f(x)f(y)．

2013年全国高中数学联合竞赛加试试题

一、（本题满分40分）如图，AB是圆ω的一条弦，P为弧AB内一点，E、F为线段AB上两点，满足AE=EF=FB．连接PE、PF并延长，与圆ω分别相交于点C、D．求证：

EF CD=AC BD．

（解题时请将图画在答卷纸上）

EFPB

二、（本题满分40分）给定正整数u，v．数列{an}定义如下：a1=u+v，对整数m≥1，

am+u, a2=m am+v.+1 a2m=

记Sm=a1+a2+ +am(m=1,2, )．证明：数列{Sn}中有无穷多项是完全平方数．

三、（本题满分50分）一次考试共有m道试题，n个学生参加，其中m,n 2为给定的整数．每道题的得分规则是：若该题恰有x个学生没有答对，则每个答对该题的学生得x分，未答对的学生得零分．每个学生的总分为其m道题的得分总和．将所有学生总分从高到低排列为p1 p2 pn，求p1 pn的最大可能值．

四、（本题满分50分）设n,k为大于1的整数，n<2k．证明：存在2 k个不被n整除的整数，若将它们任意分成两组，则总有一组有若干个数的和被 n 整除．

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