数论第一章--整除

高中数学竞赛讲义

数的整除性

定义 设a,b?Z，b?0，如果存在c?Z，使得a?bc成立，则称b整除a，记作ba；不然，则称b不整除a，记作b?|a．

每个非零整数a都有约数1，?1，a，?a，这4个数称为a的平凡约数，a的其他的约数称为非平凡约数．

性质 （1）ab??a?b；

（2）ab，bc?ac；

（3）bai(i?1,2,,k)?ba1x1?a2x2?； ?akxk（其中xi是任意整数）

（4）ba?bcac（其中c是任意的非零整数）；

（5）ba，a?0?b?a；

（6）ba，a?b?a?0．

1.已知a,b,c,d,t?Z，且t10a?b，t10c?d．求证：tad?bc．

2.设a,b是两个给定的非零整数，且有整数x,y，使得ax?by?1．求证：若an，bn，则abn． 3.已知a,b,c,d?Z，且a?cab?cd．求证：a?cad?bc．

4.证明：设a是奇数，若a2n，则an．

5.证明：设f(x)?anxn?an?1xn?1?

则df(b)?f(c)．

6.已知数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若干个数之和能被11整除的数组共有多少个？

7.已知6a?b?c，求证：6a3?b3?c3．

8.已知n为大于2的整数，求证：120n5?5n3?4n．

?a1x?a0是整系数多项式，若db?c，

高中数学竞赛讲义

素数与合数

定义 若整数a?0,?1，并且只有约数?1，?a，则称a是素数（或质数）；不然，则称a为合数．

注意：①素数也称为不可约数，它总是指正整数；②由定义知，全体整数可以分为1、素数、合数三大类．

定理 （1）任何大于1的整数a都至少有一个素约数；

（2）如果a是大于1的正整数，则a的大于1的最小约数必为素数；

（3）任何大于1的合数a

（4）素数有无穷多个；

（5）设A?{d1,d2,,dk}是n的所有约数的集合，则B?{nn,,d1d2,n}也是dkn的所有约数的集合．

1.若n是奇数，则8n2?1．

2.以d(n)表示n的正约数的个数，例如d(1)?1，d(2)?d(3)?2，d(4)?3等等，问?d(k)是否为偶数？

k?12015

3.设a1?Z(i?1,2,,n)，且a1?a2??an?0，a1a2an?n，则4n．

4.求三个素数，使得它们的积为和的5倍．

5.若n是合数，则n位数111也是合数．

n个

6.设a是自然数，问a4?3a2?9是素数还是合数？

7.设p是n的最小素约数，n?pn1,

n1?1．证明：若pn1是素数．

8.证明：存在无穷多个正整数a，使得n4?a(n?1,2,)对任意正整数n都是合数．

高中数学竞赛讲义

带余除法

定理 若a,b是两个整数，且b?0，则存在两个整数q及r，使得a?qb?r(0?r?b)成立，且q和r是唯一的．式子中，q称为a被b除的商，r称为a被b除的余数．

1.任给的5个整数中，必有3个数之和能被3整除．

2.设a0,a1,,an?Z，f(x)?anxn??a1x?a0．已知f(0)与f(1)都不是3的倍数．证明：若方程f(x)?0有整数解，则3f(?1)．

3.设3a2?b2．证明：3a，且3b．

4.证明：对于任何整数m,n，等式n2?(n?1)2?m2?2不可能成立．

5.已知n是整数．证明：3n(n?1)(2n?1)．

6.证明：形如3n?1的数不可能是完全平方数．

7.已知9a2?b2?c2．则9a2?b2或9b2?c2或9c2?a2．

8.若ax0?by0是形如ax?by（x,y是任意整数，a,b是两个不全为零的整数）的数中的最小正数，则(ax0?by0)|(ax?by)，其中x,y是任意整数．

高中数学竞赛讲义

最大公约数

定义 整数a1,a2,

叫做a1,a2,若整数d是它们中每一个数的因数，那么d就,ak(k?2)，,ak的一个公约数．整数a1,a2,,ak的公因数中最大的一个叫做最大

公因数（或最大公约数），记作(a1,a2,

若(a1,a2,,ak)． ,ak互质或互素；若诸(ai,aj)?1，即,ak)?1，就说a1,a2,

a1,a2,,ak中每两个整数都互素，就说它们两两互素．

性质 （1）(a1,a2,,ak)?(a1,a2,,ak)；

（2）(a,1)?1，(a,0)?a，(a,a)?a；

（3）(a,b)?(b,a)；

（4）若p是素数，a是整数，则(a,p)?1或pa；

（5）若a?pb?r，则(a,b)?(b,r)．

定理 设a,b是任意两个不全为零的整数．

（1）若m是任意一个正整数，则(am,bm)?(a,b)m； （2）若?是a,b的任意一个公约数，则(

ab)?1． (a,b)a(b,)??ab(a,b)．特别地，)?(

1.证明：若n?N*，则21n?4是既约分数． 14n?3

2.设a,b是整数，且9a2?ab?b2，则3(a,b)．

3.证明：121?|n2?2n?12，n?Z．

4.证明：若(a,4)?(b,4)?2，则(a?b,4)?4．

5.证明：若(a,b)?1，ca?b，则(c,a)?(c,b)?1．

6.证明：从任意5个互素的三位数中，总能选出4个数是互素的．

高中数学竞赛讲义

最小公倍数

定义 整数a1,a2,,an的公共倍数称为a1,a2,,an的公倍数，a1,a2,,an的正公倍数中最小的一个叫做a1,a2,,an的最小公倍数，记作[a1,a2,,an]．

性质 （1）[a,1]?a，[a,a]?a；

（2）[a,b]?[b,a]；

（3）[a1,a2,,an]?[a1,a2,,an]；

（4）若ab，则[a,b]?b．

定理 （1）对任意的正整数a,b，有[a,b]?ab

(a,b)；

（2）设m,a,b是正整数，则[ma,mb]?m[a,b]；

（3）若a1,a2,,an是n(n?2)个正整数，记[a1,a2]?m2，

[mn?2,an?1]?mn?1，[mn?1,an]?mn，则[a1,a2,,an]?mn．

1.设a,b,c是正整数，则[a,b,c]?abc

(ab,bc,ca)．

2.设a,b是正整数，则[a,b](a?b)?a[b,a?b]．

3.设a,b是正整数，证明：[a,b]?(a,b)?a?b．

4.证明：[a,b,c]?abc?(a,b)?(b,c)?(c,a)?1．

5.证明：设(m,a)?1，则(m,ab)?(m,b)．

6.证明：若a?0，(b,c)?1，则(a,bc)?(a,b)(a,c)．

m2,a3]?m3，…，[