第五讲--二次函数

上传者：史啸歌
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上传时间：2015-04-15
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第五讲--二次函数

高中数学竞赛讲义

第五讲二次函数

1．二次函数的图象与性质：二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)的对称轴方程为x??bb?，顶点坐标为(?,?)，a的符号决定开口方向；当判别式2a2a4a

??b2?4ac?0时，函数图象与x

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轴有两个相异交点(?b；函数图象与y2a

轴总交于点(0,c)．

2．二次函数的解析式：（1）一般式：f(x)?ax2?bx?c(a?0)；（2）顶点式：

（3）两根式：f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0)；（4）三f(x)?a(x?h)2?k(a?0)；

点式：f(x)?(x?x2)(x?x3)(x?x3)(x?x1)(x?x1)(x?x2)f(x1)?f(x2)?f(x3) (x1?x2)(x1?x3)(x2?x3)(x2?x1)(x3?x1)(x3?x2)，其中函数图象过已知三点A(x1,f(x1))，B(x2,f(x2))，C(x3,f(x3))．

3．最值问题：二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)在区间[?,?]上的最值一般考虑如下三个方面：（1）注意二次项系数a的符号对抛物线开口方向的影响；（2）b对称轴x??在区间之外（左边或右边），函数在[?,?]上具有单调性；（3）对2a

b称轴x??在区间之内． 2a

1.已知方程x2?bx?c?0有两个实数根s，t，并且s?2，t?2，求证：（1）

（2）b?c?4． c?4；

2.设实数a,b,c满足a2?bc?8a?7?0，b2?c2?bc?6a?6?0，求a的取值范围．

13.设a?b?c?1，a2?b2?c2?1，且a?b?c，求证：??c?0． 3

5． 4

5.已知f(x)?ax2?bx?c在[0，1]上满足f(x)?1，试求a?b?c的最大值． 4.设函数f(x)?ax2?x?a定义在区间[?1,1]上，若a?1，求证：f(x)?

6.已知f(x)?ax2?c满足?4?f(1)??1，?1?f(2)?5，求f(3)的取值范围．

7.设f(x)?ax2?bx?c(a?100)，试问满足f(x)?50的整数x最多有几个？

8.已知f(x)?ax2?bx?c(a?0)，且f(x)?x没有实数根，那么f[f(x)]?x是否有实数根？并证明你的结论．

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9.已知二次函数f(x)?ax2?bx?c，(a,b,c?R,a?0)，g(x)?ax?b，当?1?x?1时，f(x)?1．（1）求证：c?1；（2）求证：当?1?x?1时，g(x)?2；

（3）设a?0，当?1?x?1时，g(x)的最大值为2，求f(x)．

10.设关于x的方程2x2?tx?2?0的两根为α，β（α<β），已知函数f(x)=

（1）求4x?t，x2?1f(?)?f(?)的值；（2）求证：f(x)在[α，β]上是增函数；（3）对任意正数???

x1,x2，求证：f(x1??x2?x??x2?)?f(1)?2??． x1?x2x1?x2

11.已知二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?b?c)的图像与x轴有两个不同的交点A，B且f(1)?0．（1）求c3的取值范围；（2）求证：?AB?3；（3）如果a2a2?[f(m1)?f(m2)]a?f(m1)f(m2)?0，那么f(m1?3)与f(m2?3)是否均为正值？请说明理由．

12.二次函数f(x)?px2?qx?r中实数p,q,r满足

m?0，求证：（1）pf(pqr???0，其中m?2m?1mm)?0；（2）方程f(x)?0在?0,1?内恒有解． m?1

13.设二次函数f(x)?ax2?bx?c(a?0)，方程f(x)?x?0的两个根x1，x2满1．（1）当x?(0,x1)时，求证：x?f(x)?x1；（2）设函数f(x)的a

x图像关于直线x?x0对称，求证：x0?1． 2足0?x1?x2?

14.对于函数f(x)，若存在x0?R，使得f(x0)?x0成立，则称x0是f(x)的不动点．已知f(x)?ax2?(b?1)x?(b?1)?a?0?，（1）若对于任意的b?R，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；（2）在（1）的条件下，若y?f(x)的图像上A，B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A，B两点关于直线y?kx?

12a?12对称，求b的最小值．