第七讲--函数迭代与函数方程

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第七讲--函数迭代与函数方程

高中数学竞赛讲义

第七讲函数迭代与函数方程

对于函数f(x)，令

f(1)(x) f(x)，f(2)(x) f(f(1)(x))，…，f(n)(x) f(f(n 1)(x))，其中n 2，且n N*．

我们将f(n)(x)称为函数f(x)的n次迭代，将含有未知函数的等式称为函数方程．函数迭代与函数方程是数学竞赛中的一类重要题型．

引例分别就下面给出的f(x)求n次迭代f(n)(x)．

（1）f(x) x c，这里c为常数；

（2）f(x) ax b，这里a,b为常数，且a 1；

（3）f(x) x，这里a为常数； 1 ax

（4）f(x) xm，这里m为给定的正整数；

（5

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）f(x) a,b为正实数，且a 1；

（6）f(x) ； 2x 1

（7

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）f(x) ，这里k为给定的正整数；

（8）f(x) 2x2 1， 1 x 1；

（9）f(x) 4x(1 x)，0 x 1．

求函数迭代的两种常用方法：

①不动点法．它在处理函数迭代问题时经常用到，请对比递推数列中的不动点法；

②桥函数法．若存在一个函数 (x)以及它的反函数 1(x)，使得

f(x) 1(g( (x)))，

我们就称f(x)通过 (x)和g(x)相似，简称f(x)和g(x)相似，其中 (x)称为桥函数．

用数学归纳法可以证明f(n)(x) 1(g(n)( (x)))．

高中数学竞赛讲义

1.已知f(x)为一次函数，且f(2007)(x) 22007x 3(22007 1)，求f(x)．

2.设函数f:R R，满足f(0) 1，且 x,y R，都有

f(xy 1) f(x)f(y) f(y) x 2，

求f(x)．

3.设集合A B {1,2,3}，映射f:A B，且满足f(3)(x) f(x)，问满足题意的映射f有几个？

n 3(n 1000)4.函数f(n)定义在整数集上，满足f(n) ，求f(84)．

f(f(n 5))(n 1000)

5.已知函数f(x)是N N的映射，满足：

①对任意非负整数n，有f(n 1) f(n)；

② m,n N，有f(n f(m)) f(n) m 1．

)．求f(2001

6.已知f(x)是Q Q的函数，f(1) 2，f(xy) f(x)f(y) f(x y) 1，求f(x)(x Q)．

7.求所有函数f:N N ，使得 n N ，有

f(f(f(n))) f(f(n)) f(n) 3n．

高中数学竞赛讲义

1.定义在R上的函数f(x)(x 1)满足f(x) 2f(f(2004．) x 2002) 4015 x，求x 1

2.设函数f:R R，且对任意的实数x都有

f(x2 x) 2f(x2 3x 2) 9x2 15x，

求f(50)．

3.设函数f(x)在定义域(0, )上严格单调递增，且对所有的x 0，均有

11f[f(x) ] ，试求f(1)的值． xf(x)

4.已知函数f(x)的定义域为{xx 0且x 1}，且对定义域内的所有x都有

x 12f(x) f) x 1，试求f(x)． x

5.设对满足x 1的所有实数x，函数f(x)满足f(f(x)． x 33 x) f() x，求x 11 x

6.设函数f是定义在正整数集N*到N*上的增函数，且有f(f(n)) n．（1）求f(1)和f(2015)；（2）猜想f(n)的表达式，并试着给予证明．

7.设函数f是定义在正整数集N*到N*上的增函数，且有f(f(n)) n 4，f(1) 3，求f(2015)．

8.设函数f:N N ，且严格递增，f[f(n)] 3n，求f(1) f(9) f(36)．

9.试求出所有函数f:R R，使得 x,y R，都有

f(x2 y2) xf(x) yf(y)．

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