第九讲--函数[x]与{x}

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第九讲--函数[x]与{x}

高中数学竞赛讲义

函数[x]与{x}

1.定义：对任意实数x，以[x]表示不超过x的最大整数，称它为x的整数部分，如[4.2]?4，[?7.6]??8等．定义{x}?x?[x]，称它为x的小数部分，如{3.1}?0.1，{?7.6}?0.4等等．对?x?R，y?[x]和y?{x}均是x的函数．

2.性质

（1）y?[x]的定义域为R，值域为Z；y?{x}的定义域为R，值域为[0,1)．

（2）x?[x]?{x}，0?x?[x]?1，[x]?x?[x]?1，x?1?[x]?x．

（3）①若x?y，则[x]?[y]，即函数y?[x]在R上不减． ②y?{x}是周期函数，最小正周期为1．

③对整数n，有[x?n]?[x]?n，{x?n}?{x}． ④[x?y]?[x]?[y]，{x?y}?{x}?{y}．

{x}?{y}?1?[x]?[y],⑤[x?y]??．

?[x]?[y]?1,{x}?{y}?1

x?Z??[x],⑥[?x]??． ?[x]?1,x?Z?

?0,x?Z⑦{?x}??．

?1?{x},x?Z

定理（1）设a与b是正整数，则在1,2,a,a中能被b整除的整数恰有[]个。 b

nnn（2）在n!的质因数分解式中，素数p的指数是[]?[2]?[3]?ppp??[r?1?n]。 pr

（3）设n是正整数，则n!??pr?1

p?n?[p]?n，其中?p?n

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表示对不超过n的所有素数p求

积。

1. n?N?，=_________。

2. n?2，[11?2?223?1]?_________。 2n

高中数学竞赛讲义

3. ?101?_________

n?110023n

192091]?[r?]??[r?]?546，[100r]?_________ 100100100

x5.方程[2x?9]?的实数解为_________ 2

5?6x15x?7]?6.方程[的解集为_________ 854. r?R，[r?

7.解方程4x2?40[x]?51?0．

8. 解方程x?4{x}?2[x]．

22?

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9. x?(0,)，M?

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3cosx?3sin

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x的整数部分是_________

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10. x?

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1??[x]?_________ 11.用anS?n?N?，11??a1a2?1a2000[S]?_________ ，12. 200~500的整数中7的倍数有________个

13.解不等式[x]{x}?x?1．

[x]x]?[]． nn

115.证明：?x?R有[x]?[x?]?[2x]． 21216.证明：?x?R，n?N有[x]?[x?]?[x?]?nn14. n?N*，证明[?[x?n?1]?[nx]． n

对于数列{an

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}:1,3,3,3,5,5,5,5,5,，即正整数k恰好有k个，是否存在整数r,s,t使得对于任意正整数n，都有an?r?t恒成立？ 1093[31]末尾两位数字是_________ 10?3

x?R，[x]表示不超过x的最大整数，则满足[x2??10的x的集合是_________

[x]表示不超过x的最大整数，使[log36]?[log37]??[log3n]?2009的正整数n?_________

高中数学竞赛讲义

11对整数n?1，设x?1???，y?lg2?lg3?2n

有正整数n构成的集合为_________

9x[x]?的实数解为_________ 2?lgn，则满足[x]?[y]的所

关于x的函数f(x)?x?[x?a存在最大值M

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(a)，则正实数a的取值范围是

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_______

2an]?_________ n

111)?，求函数f:R?R对任意的实数x,y,z都有f(xy)?f(xz)?f(x)f(yz224an?

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[

[f(1)]?[2f(2)]??[2011f(2011．

1关于x的方程[3x?1]?2x?的全部实数根之和为_________ 2

在平面上由满足[x]2?[y

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]2?50的点所围成的图形的面积为_________ 设a1?1，an?1?n?N?)，a2013?_________

xxxx记m?[]?[2]?[3]??[k]，其中k是满足2k?x的最小整数，x?mx?N?，2222

称为正整数x的方程数，则方程数为9的最小正整数x为_________

[log21]?[log22]?[log23]?

分解12!为质因数的乘积。

2015!的末尾有多少个0？ ?[log22012]?_________

k求最大的整数k，使得10199!。

设x与y是实数，则[2x]?[2y]?[x]?[y]?[x?y]。

1若x是任意实数，则[x]?[x?]?[2x]。 2

证明：方程[x]?[2x]?[4x]?[8x]?[16x]?[32x]?12345无实数解。 k是自然数，且1001?1002??2005?2006是整数，则k的最大值是多少？ k11

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