第九讲--函数[x]与{x}
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第九讲--函数[x]与{x}
高中数学竞赛讲义
函数[x]与{x}
1.定义:对任意实数x,以[x]表示不超过x的最大整数,称它为x的整数部分,如[4.2]?4,[?7.6]??8等.定义{x}?x?[x],称它为x的小数部分,如{3.1}?0.1,{?7.6}?0.4等等.对?x?R,y?[x]和y?{x}均是x的函数.
2.性质
(1)y?[x]的定义域为R,值域为Z;y?{x}的定义域为R,值域为[0,1).
(2)x?[x]?{x},0?x?[x]?1,[x]?x?[x]?1,x?1?[x]?x.
(3)①若x?y,则[x]?[y],即函数y?[x]在R上不减. ②y?{x}是周期函数,最小正周期为1.
③对整数n,有[x?n]?[x]?n,{x?n}?{x}. ④[x?y]?[x]?[y],{x?y}?{x}?{y}.
{x}?{y}?1?[x]?[y],⑤[x?y]??.
?[x]?[y]?1,{x}?{y}?1
x?Z??[x],⑥[?x]??. ?[x]?1,x?Z?
?0,x?Z⑦{?x}??.
?1?{x},x?Z
定理 (1)设a与b是正整数,则在1,2,a,a中能被b整除的整数恰有[]个。 b
nnn(2)在n!的质因数分解式中,素数p的指数是[]?[2]?[3]?ppp??[r?1?n]。 pr
(3)设n是正整数,则n!??pr?1
p?n?[p]?n,其中?p?n
内容需要下载文档才能查看表示对不超过n的所有素数p求
积。
1. n?N?,=_________。
2. n?2,[11?2?223?1]?_________。 2n
高中数学竞赛讲义
3. ?101?_________
n?110023n
192091]?[r?]??[r?]?546,[100r]?_________ 100100100
x5.方程[2x?9]?的实数解为_________ 2
5?6x15x?7]?6.方程[的解集为_________ 854. r?R,[r?
7.解方程4x2?40[x]?51?0.
8. 解方程x?4{x}?2[x].
22?
内容需要下载文档才能查看9. x?(0,),M?
内容需要下载文档才能查看3cosx?3sin
内容需要下载文档才能查看x的整数部分是_________
内容需要下载文档才能查看2
10. x?
内容需要下载文档才能查看1??[x]?_________ 11.用anS?n?N?,11??a1a2?1a2000[S]?_________ ,12. 200~500的整数中7的倍数有________个
13.解不等式[x]{x}?x?1.
[x]x]?[]. nn
115.证明:?x?R有[x]?[x?]?[2x]. 21216.证明:?x?R,n?N有[x]?[x?]?[x?]?nn14. n?N*,证明[?[x?n?1]?[nx]. n
对于数列{an
内容需要下载文档才能查看}:1,3,3,3,5,5,5,5,5,,即正整数k恰好有k个,是否存在整数r,s,t使得对于任意正整数n,都有an?r?t恒成立? 1093[31]末尾两位数字是_________ 10?3
x?R,[x]表示不超过x的最大整数,则满足[x2??10的x的集合是_________
[x]表示不超过x的最大整数,使[log36]?[log37]??[log3n]?2009的正整数n?_________
高中数学竞赛讲义
11对整数n?1,设x?1???,y?lg2?lg3?2n
有正整数n构成的集合为_________
9x[x]?的实数解为_________ 2?lgn,则满足[x]?[y]的所
关于x的函数f(x)?x?[x?a存在最大值M
内容需要下载文档才能查看(a),则正实数a的取值范围是
内容需要下载文档才能查看 内容需要下载文档才能查看_______
2an]?_________ n
111)?,求函数f:R?R对任意的实数x,y,z都有f(xy)?f(xz)?f(x)f(yz224an?
内容需要下载文档才能查看[
[f(1)]?[2f(2)]??[2011f(2011.
1关于x的方程[3x?1]?2x?的全部实数根之和为_________ 2
在平面上由满足[x]2?[y
内容需要下载文档才能查看]2?50的点所围成的图形的面积为_________ 设a1?1,an?1?n?N?),a2013?_________
xxxx记m?[]?[2]?[3]??[k],其中k是满足2k?x的最小整数,x?mx?N?,2222
称为正整数x的方程数,则方程数为9的最小正整数x为_________
[log21]?[log22]?[log23]?
分解12!为质因数的乘积。
2015!的末尾有多少个0? ?[log22012]?_________
k求最大的整数k,使得10199!。
设x与y是实数,则[2x]?[2y]?[x]?[y]?[x?y]。
1若x是任意实数,则[x]?[x?]?[2x]。 2
证明:方程[x]?[2x]?[4x]?[8x]?[16x]?[32x]?12345无实数解。 k是自然数,且1001?1002??2005?2006是整数,则k的最大值是多少? k11
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