第二讲--简易逻辑

高中数学竞赛讲义

第二讲 简易逻辑

1．（2009上交大）珠宝店丢失了一件珍贵珠宝．以下四人只有一人说真话，只有一个人偷了珠宝．甲：我没有偷．乙：丙是小偷．丙：丁是小偷．丁：我没有偷．则说真话的人是________，偷珠宝的人是________．

2．（2007武大）校运会上，甲、乙、丙三名同学各获得一枚奖牌，其中1人得金牌、1人得银牌、1人得铜牌．王老师曾猜测“甲得金牌，乙不得金牌，丙不得铜牌”，结果王老师只猜对了一人，那么甲、乙、丙分别获得______________

3．（2007武大）某珠宝店失窃，甲、乙、丙、丁四人涉嫌盗窃被拘审，四人的口供如下：

甲：作案的有丙； 乙：丁是作案者；

丙：如果我作案，那么丁是主犯； 丁：作案的不是我． 如果四人口供中只有一个是假的，那么你做出的判断是____________

1．命题与逻辑联结词

命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述语句． 逻辑联结词：或（?）、且（?）、非（ ）． 不含逻辑联结词的命题，即不能再分解出其他命题的命题．如“雪是白色的”，“今天是个晴天”等． 复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题．如“他这会儿应该在教室或办公室”，“这家店的计算机配置合理且价格低廉”，“这首新歌的主题和内容都不太好”等． 复合命题的三种基本形式：p或q；p且q；非p． 复合命题真假判断：

（1）“非p”形式复合命题的真假与命题p的真假相反；

（2）“p且q”形式复合命题当且仅当命题p与q同时为真时才真，其他情况均为假；

（3）“p或q”形式复合命题当且仅当命题p与q同时为假时才假，其他情况均为真．

4．已知命题p:方程x2?mx?1?0有两个不相等的负实根，命题q:方程

无实根．若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围． 4x2?4(m?2)x?1?0

5．已知命题p:方程a2x2?ax?2?0在[?1,1]上有解，命题q:只有一个实数x满足不等式x2?2ax?2a?0．若p或q是假命题，求实数a的取值范围．

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6．（2010复旦）设函数f(x)在区间[a,b]上有定义，如果对任意满足

a?x?y?b的实数x,y都有f(x)?f(y)，则称f(x)是[a,b]上的递增函数．那么f(x)是[a,b]上的非递增函数应满足__________________________________．

7．（2009复旦）“要使函数f(x)?0成立，则x不能在区间[a,b]之内”的意思是（1）如果f(x)?0，则x?[a,b]？（2）如果x?[a,b]，则f(x)?0？（3）如果x?[a,b]，则f(x)?0 ？

8．（2011复旦）设S是由任意n?5个人组成的集合，如果S中任意4个人当中都至少有1个人认识其余3个人，那么下列判断中正确的是（ ）

A．S中没有人认识S中的所有的人 B．S中至少有1人认识S中所有的人 C．S中至多有2人不认识S中所有的人D．S中至多有2人认识S中所有的人

x2?2ax?2a?09．若如下三个方程x2?4ax?4a?3?0，x2?(a?1)x?a2?0，

至少有一个方程有实数根，求a的取值范围．

10．关于x的方程x2?(2a?1)x?a2?2?0至少有一个非负实根，求a的取值范围．

3．四种命题形式及相互关系

在数学中，“若p，则q”这种形式的命题是常见的，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．

原命题：若p，则q； 逆命题：若q，则p； 否命题：若 p，则 q； 逆否命题：若 q，则 p． 11．试判断以下命题及其逆命题、否命题、逆否命题的真假．

（1）命题“若x?1，则x?0．”；

（2）函数f(x)在x?0处有定义．命题“若f(x)为奇函数，则f(0)?0．”；

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（3）已知函数f(x)在(??,??)上是增函数，a,b?R．命题“若a?b?0，则f(a)?f(b)?f(?a)?f(?b)．”；

（4）在?ABC中，BD,CE分别为?B和?C的平分线．命题“若AB?AC，则BD?CE．”

（5）在?ABC中，AC?AB，AD?BC于点D，E为BC的中点．命题“若BA?AC，则?BAD??CAE．”

12．已知关于x的方程x2?ax?b?0有两个实根?，?，证明：“??2且

． ??2” ?“2a?b?4且b?4”

4．反证法

13．用反证法证明：三角形至少有两个锐角．

14．求证：过同一条直线上的三点不能作圆．

15．求证：过圆内一点有且仅有一条被该点平分的弦．

欲证命题“若A则B”为真，一般的思路是直接由A?B，但有时B成立的情况过多或过于显然，这时直接证明B成立就显得繁琐或难以入手，则可采用反证法．反证法的证明思路是：先假设结论B不成立，然后通过正确的演绎推理得到明显矛盾的结果，从而下结论说假设不成立，则原命题得证．

先假设B不成立，即 B矛盾有时是与题设条件矛盾，有时是与已知公理、定理、定义所发生的矛盾，或者是与反证法自身的假设之间的矛盾，更或者是在推理过程中产生的两个命题间的矛盾，等等．

经过以上分析，不难明确运用反证法证明“A?B”，其本质是在进行“A且 B?C且 C”的推理．应用反证法的前提是第一步的正确假设（反设）．

16．

17．求证：a?x2?2y?于0．

18．若a3?ab2?a2b?b3?3a2?b2?2ab?4a?2b?2?0，则a?b?1．

19．已知ad?bc?1，求证：a2?b2?c2?d2?ab?cd?1．

20．已知a?0，b?0，且a3?b3?2，求证：a?b?2．

21．若n是正整数，则21n?4是既约分数． 14n?3

1． 2?2，b?y2?2z??3，c?z2?2x??6中至少有一个大22．（2004同济）求证：a?b，a?b，?a中至少有一个不小于

23．实数a1,a2,,an(n?3)满足a1?a2??an?n，且a12?a22?22，?an?n

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求证：max{a1,a2,,an}?2．

5．分类讨论

“分类讨论”是数学中一类重要的思想方法，提出如下问题供思考：1．讨论的原因是什么？是什么的不确定导致了分类？这是根基，是出发点；2．以什么为标准进行分类？分为几类？3．严格执行分类讨论的过程，解题到此结束！

4的可能？能不能找到更优的标准以简化讨论？甚至避免讨论？

24．已知集合A?{xx2?3x?2?0}，B?{xx2?(m?1)x?m?0}，若B?A，求实数m的值．

25．解关于x的不等式ax2?2?2x?ax(a?R)．

??2x,x??1?26．判断并证明函数f(x)??2,?1?x?1的奇偶性．

?2x,x?1?

27．已知f(x)是R上的奇函数，且当x?0时，f(x)?x2，若对任意的x?[t,t?2]不等式f(x?t)?2f(x)恒成立，求t的取值范围．

28．已知函数f(x)?xx?a(a?R)，求f(x)在区间[1,2]上的最小值与最大值．

跟踪练习 1.设集合A?{x?Rx2?(p?2)x?1?0}，若AR???，求实数p的取值范围．

2.已知P?[1,2，]Q1?{xax2?2x?2?0}，Q2?{xax2?2x?2?0}，2

（2）PQ2??，（3）PQ3??，Q3?{xax2?2x?2?0}．若（1）PQ1??，

试分别求实数a的取值范围．

3.已知a,b,c是互不相等的非零实数，求证：三个方程ax2?2bx?c?0，bx2?2cx?a?0，cx2?2ax?b?0中至少有一个方程有两个相异实根．

4.设f(x)?x2?ax?b，求证：f(1)，f(2)，f(3)中至少有一个不小于

5.设不等式

围． 1． 2ax?5?0的解集为M，若3?M，且5?M，求实数a的取值范x2?a