河北省衡水十三中2009届高三上学期第三届尖子生竞赛(数学)

河北省衡水十三中2009届高三上学期第三届尖子生竞赛(数学)

河北省衡水十三中2009届高三上学期第三届尖子生竞赛

（数学）

（时间120分钟 满分120分） 2008-11-25

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题

1、若集合A={3，a2},B={2,4},则“a=2”是AB??4?的 ( )

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件

C、充要条件 D、既非充分也非必要条件

2、已知等差数列{an}满足a1?a2???a2009?0则有 （ ）

A．a1?a2009?0 B．a3?a2007?0 C．a2?a2008?0 D．a1005?1005

?(3a?2)x?6a?1,x?13、已知函数f(x)??x在（??,??）上单调递减，那么实数a,x?1?

a的取值范围是 （ ）

2A、（0，1） B、（0，） 3

?32??3? C、?,? D、?,1? ?83??8?

4、“函数f(x)(x?R)存在反函数”是“函数f(x)在R上为增函数”的（ ）

A．充分而不必要条件

C．充分必要条件 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

的值为 ( ) 115、数列?an?中，若a1?,an?(n≥2,且n∈N)，则9a00221?an?1

1 C、1 D、2 2

6．集合A={－1，0，1}，B={y|y=cosx，x∈A}，则A?B=（ ）

A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{－1，0，1} A、-1 B、

河北省衡水十三中2009届高三上学期第三届尖子生竞赛(数学)

7．若把一个函数y=f(x)图象按a?(?

?

3

,?1)平移后得到函数y?cosx的图象，

则函数y=f(x)的解析式为 （ ）

??

A、y?cos(x?)?1 B、y?cos(x?)?1

33??

C、y?cos(x?)?1 D、y?cos(x?)?1

338、已知函数y=f(x)的反函数是f?1(x)?2?loga(1?x)(a?0,且a?1),则函数y=f(x)的图象必过定点 （ ）

A、（2，0） B、（-2，0） C、（0，2） D、（0，-2）

2sin(x?

9、函数 f（x）?

2

?

)?2x2?3x

A．P+Q=4 C．P-Q=4 D．P-Q=2

?????

10、已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a?c)?(?)?0,

2x?sin(?x)

2

B．P+Q=2

?

的最大值为P，最小值为Q，则有( )

?

则c的最大值是 （ ）

（A）1 （B）2 （C） （D）

π??π

11、函数y?lncosx???x??的图象是（

）

2??2

2

2

?3?

12、函数y?tanx?sinx?tanx?sinx在区间(,)内的图象是（ ）

22

?

A

B

?C

D

河北省衡水十三中2009届高三上学期第三届尖子生竞赛(数学)

第Ⅱ卷

注意事项：

1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚。

2．第Ⅱ卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．

3．本卷共10题，共90分．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上．

13、M={x|y=x?2}，N={y|y=x2,x?M},则M∩N=___________________

?a,a?b14、对a,b?R,记max{a,b}=?函数f（x）＝max{|x+1|,|x-2|}(x?R)的

?b,a＜b

最小值是_______________________________ .

15、若sinα+sinβ=1,则y=sinα-cos2β的值域为_________________ 3

16、将全体正整数排成一个三角形数阵：

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

。 。 。 。 。

按照以上排列的规律，第n行（n?3）从左向右的第3个数为

三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分10分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，

?已知c?2，C?． 3

（Ⅰ）若△

ABCa，b；

（Ⅱ）若sinB?2sinA，求△ABC的面积．

18、（本小题满分12分）已知开口向上的二次函数f(x)，对任意x∈R，都有f(2?x)?f(2?x)成立，设向量a?(x?2?2x?,1)

,b?(1,2)求不等式f(a?b)?f(5)的解集.

河北省衡水十三中2009届高三上学期第三届尖子生竞赛(数学)

19、（本小题满分12分）在数列?an?中，a1?1，an?1?2an?2n．

（Ⅰ）求数列?an?的通项公式。

（Ⅱ）求数列?an?的前n项和Sn．

???20、（本小题满12分.）已知函数f(x)?2sin?x???2cosx． 6??

4???（Ⅰ）当x??,??时，若sinx?，求函数f(x)的值； 5?2?

?????（Ⅱ）当x??,??时，求函数h(x)?3sin(?x)?cos(2x?)的值域； 63?2?

（Ⅲ）把函数y?f(x)的图象按向量m平移得到函数g(x)的图象，若函数g(x)是偶函数，写出m最小的向量m的坐标．

21、某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？

（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝

购地总费用） 建筑总面积

22、（本小题满分12分）设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，且对于所

有正整数n，有(an?1)2?4Sn.

（1）求数列{an}的通项公式； an,n2

（文科）求数列{bn}的前n项和Tn. （2）设bn?

（理科）设Tn为数列{bn}的前n项和,求证:

1?Tn?3.2

河北省衡水十三中2009届高三上学期第三届尖子生竞赛(数学)

数学试题----参考答案

一、选择题

1、A 2、B 3、C 4、B 5、D 6．B 7．D 8、A 9、B 10、C 11、A 12、D

二、填空题：每小题5分 共20分

3114n2?n?613、[4， 14、 15、[?,] 16、 ??）21292

三、解答题：

17．（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）由余弦定理得，a?b?ab?4，

又因为△

ABC

221absinC?ab?4． ······· 3分 2

?a2?b2?ab?4，联立方程组?解得a?2，b?2． ·············· 5分

?ab?4，

（Ⅱ）由正弦定理，已知条件化为b?2a， ·················· 7分

?a2?b2?ab?4，联立方程组?解得a?

b? ?b?2a，

所以△

ABC的面积S?1 ················· 10分 absinC?218、（本小题满分12分）

解：二次函数f(x)满足f(2?x)?f(2?x)，即它的对称轴为x=2?????2分

又f(x)的开口向上，所以f(x)在?2,+??上为增函数。??????..4分 a?b?x?2?2x?1?2?2

?不等式f(a?b)?f(5)等价于x?2?2x?1?3

4当x??2时,不等式可化为?(x?2)?(2x?1)?3即有x>-故无解.3

11当-2<x?时,不等式可化为:x?2?(2x?1)?3,即有x?0,此时不等式的解为0<x?22

1212当x?时,不等式可化为x?2?2x?1?3,即有x?,此时不等式的解为?x?2323

2综上可知:不等式f(a?b)?f(5)的解集为(0,).3

????????12分

19、（本小题满分12分）