学而思高一春季物理竞赛CPHO预备队第8讲

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第8讲 带电物体在电场中的运动

本讲提纲

1. 电场中的能量

2. 自能，互能，电场能

本讲的主要例题只是通过带电粒子运动把整个电场一章的内容做一次复习。

知识点睛

一.电势能

1.电势能的差

静电力是保守力，可引入电势能的概念。由保守力作功和势能增量的关系有：

ΔEpa?b = -(Wb - Wa)

q0在电场中a、b两点电势能之差等于把q0自a点移至b点过程中电场力所作的功。电势能应属于q0和产生电场的源电荷系统共有。

2.电势能

选标准点(势能零点)，在电场中某点a的电势能为即把q0自a ?“标准点”的过程中电场力作的功。所以电势能的定义为：

Epa??aq0

3.连续电荷分布的静电能

对于一个有限体积的带电体，我们姑且不考虑其微观结构而只注意其静电性质，那么可以说，这一带电体之所以能够结合在一起，是需要外力维持的。我们设想下面的过程来说明如何构成一个有限大小的带电体。开始的时候，所有的电荷都位于无穷远处，我们人为地将一个个电荷从无穷远处极缓慢地移动到指定的位置，那么，在这个极缓慢的过程中我们对电荷所施加的力与电荷所受的的静电力想必是大小相等而方向相反的，我们所作的功就应该等于电荷的电势能的增量。

不断地重复这一过程，直到最终组成我们所要的有限大小的带电体，在整个过程中，我们所作的功就是静电体系的静电能。这样，从功能原理的角度我们重新解释了静电能。下面通过一个简单的例子来说明书这一过程。

我们来计算一个半径为R的均匀带电球体的电势能。现在让我们从功能原理的角度考虑这个问题。如图所示，为了构造一个半径为R的带电球体，我们就要准静态地把电荷从无穷远处搬运到适当的位置，并组成球形。假设在某个时候我们已经构成了如图所示的情形，即已经有了一个半径为r的

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带电球体，接下来我们要继续从无穷远处搬运电荷，并将搬来的电荷均匀地分布在这个球体上。我们每次搬运的电荷都是很少的，设电荷密度为?，那么每次搬运的电荷量可以表示为4?r2?dr，而球表面的电势为1

4??0???r2，无穷远处的电势为零，故在某一次的搬运过程中我们所作的功即为43r

电量为4?r2?dr的电荷的电势能的改变，它就是

1

4??0???r2??4?r2dr 4r

最后我们要组成半径为R的带电球，于是该球体的电势能就是对上式的积分，即

R

W??014??0???r2??4?r2dr 43r

=14??0(4?)2215?R 35

Q

4

3，这里Q是这个球体的带电量，于是上式化为 可以将电荷密度?表示为?R3

31Q2

W?54??0R

这便是半径为R带电量为Q的均匀球体的静电能。由于同种电荷是彼此排斥的，所以这一能量可以理解为维持这样的带电系统保持平衡所需要能量。

下面我们来比较一下这样一些概念：静电能、相互作用能、自能。

在不少教科书及参考书中这些概念经常出现。首先要重申，点电荷这一概念是数学上的抽象而不是物理上的实在，当用点电荷这一概念讨论物理问题时，我们不再关注已经被抽象成“点”的电荷的大小、形状及内部结构，转而关注这些“点”电荷对自身以外的空间或其它电荷的影响。

于是，对于由点电荷组成的静电系统，所谓的静电能就只能是各个点电荷之间的相互作用能。对于那些有具体形状或大小的连续电荷分布，整体上的静电能可以分为自能和相互作用能两部分，让我们对此稍作分析。上面我们计算了一个均匀带电球体的静电能，这个带电球体当然是一种连续的电荷分布，而且空间中除了这个带电球体外再没有别的带电体，这时我们可以说，这个带电球所具有的静电能就是其自身的自能。再设想另有一个带电球体，那么，由这两个带电体组成的静电体系的总的静电能应该表示为：

总的静电能=带电球1的自能+带电球2的自能+两个带电球间的相互作用能

其中相互作用能的计算是这样：把带电球1设想为源，它将在空间形成一定的电场，而带电球2位于该电场中，那么带电球2所具有的电势能便是二者间的相互作用能；当然，你也可以将球2设想为源，计算球1在带电球2形成电场中的电势能即可，二者只取其一，是不能相加的。

在上一讲中，我们介绍过电场能的概念，通过计算不难发现，实际总的静电能，既可以通过

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做功来计算，也可以定义：

静电场的静电能可以表示为：

W????wdV。

?

对于真空中的静电场 w?1?oE2 2

12?E。 2在均匀的各向同性的介质中，静电能的能量密度为 w?

从上面的讨论中可以看出，静电能储存在电场中，虽然我们是从电荷的带电量和电势的角度出发的，但结果显示，能量和电场有着不可分割的联系，这也从另一方面说明电场的物质性及确实是真实存在的物质。

例题精讲

【例1】如题图所示，电量为+q和-q的点电荷分别位于正方体的顶点，正方体范围内电场强度为零的点有( )

A. 体中心、各面中心和各边中点

B. 体中心和各边中点

C. 各面中心和各边中点

D. 体中心和各面中心

【例2】一电场强度为E的均匀电场，E的方向与X轴正向平行，如图所示，则通过图中一半径为R的半球面的电场强度通量为( )。

（A）?RE；

（B）2??1?R2E； 2

（C）2?R2E；

（D）0。

【例3】空间有一沿x轴对称分布的电场，其电场强度E随X变化的图像如图所示。下列说法正确的是( )

A．O点的电势最低

B．X2点的电势最高

C．X1和- X1两点的电势相等

D．X1和X3两点的电势相等

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【例4】一粒子从A点射入电场，从B点射出，电场的等势面和粒子的运动轨迹如图所示，图中左侧前三个等势面彼此平行，不计粒子的重力。下列说法正确的有( )

A．粒子带负电

B．粒子的加速度先不变，后变小 C．粒子的速度不断增大

D．粒子的电势能先减小，后增大

【例5】图为静电除尘器除尘机理的示意图。尘埃在电场中通过某种机制带电，在电场力的作用下向集尘极迁移并沉积，以达到除尘目的。下列表述正确的是( ) A.到达集尘极的尘埃带正电荷 B.电场方向由集尘极指向放电极 C.带电尘埃所受电场力的方向与电场方向相同 D.同一电荷运动过程中加速度一直在变小

【例6】测定压力变化的电容式传感器如图所示，A为固定电极，B为可动且成一个电容大小可变的电容器．可动电极两端固定，当待测压力施加在可动电极上时，可动电极发生形变，从而改变了电容器的电容．现将此电容式传感器连接到如图所示的电路中，当待测压力增大时( ) A．电容器的电容将减小 B．电阻R中没有电流 C．电阻R中有从a流向b的电流 D．电阻R中有从b流向a的电流

【例7】图（a）为示管的原理图。如果在电极YY’之间所加的电压图按图（b）所示的规律变化，在电极XX’

图

图

图(b)

之间所加的电压按图（c）所示的规律变化，则在荧光屏上会看到的图形是( )

A

【例8】如图甲所示，真空中的电极K连续不断地发出电子（电子的初速度可忽略不计），经电压为u

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的电场加速，加速电压u随时间t变化的图象如图乙所示。每个电子通过加速电场的过程时间极短，可认为加速电压不变。电子被加速后由小孔S穿出，沿两个彼此靠近且正对的水平金属板A、B间中轴线从左边缘射入A、B两板间的偏转电场，A、B两板长均为L=0.20m，两板之间距离d=0.050m，A板的电势比B板的电势高。A、B板右侧边缘到竖直放置的荧光屏P（面积足够大）之间的距离b=0.10m，荧光屏的中心O与A、B板的中心轴线在同一水平直线上。不计电子之间的相互作用力及其所受的重力，

求：(1)要使电子都打不到荧光屏上，则A、B两板间所加电压U应满足什么条件；

(2)当A、B板间所加电压U′= 50V时，电子打在荧光屏上距离中心O多远的范围内。

: 乙

【例9】喷漆技术具有效率高，浪费少，质量好，有利于工人健康等优点，其装置示意图如图所示。

A、B为两块平行金属板，间距d＝0.30m，两板间有方向由B指向A、电场强度E＝1.0×103N/C的匀强电场。在A板的中央放置一个安全接地的静电油漆喷枪P，油漆喷枪的半圆形喷嘴可向各个方向均匀地喷出带电油漆微粒，油漆微粒的质量m＝2.0×10－15kg、电荷量为q＝－2.0×10－16C，喷出的初速度v0＝2.0 m/s。油漆微粒最后都落在金属板B上。微粒所受重力和空气阻力以及微粒之间的相互作用力均可忽略。试求：

（1）微粒落在B板上的动能；

（2）微粒从离开喷枪后到达B板所需的最短时间；

（3）微粒最后落在B板上所形成图形的面积。

A

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