学而思高一春季物理竞赛CPHO预备队第2讲

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第2讲 机械振动进阶、机械波

本讲提纲

1.

2.

3.

4.

5.

6. 简谐振动判定 简谐振动相位计算 简谐振动复数表示 机械波的形成机制 一维简谐波的函数描述 多普勒效应

知识模块

第一部分

简谐振动判定

简谐振动的定义是说，一个量随着时间变化规律满足A(t)?A0cos(?t??)

如果是由动力学因素引起的，则可以归结为方程：A???2A

11两边同时乘以A，然后消去dt，得到d(A2??2A2)?0 22

也就说，本质上是需要寻找正比于A平方的势能项和正比于A平方的动能项。

这也就形成了判定简协振动的两种常见思路：受力分析和能量分析。要注意的是，受力分析要精确到一阶小量，而能量分析要到第二阶（复习在平衡点的势能展开）。比较好的运算习惯是在平衡点，设无量纲数作为展开变量。

简谐振动是广泛存在于物理世界中的，乃们好好学习…

遇到两个自由度运动的时候，如果猜想其中一个是简谐振动，可以考虑用守恒量消去一个。如果两个自由度看起来都在振动而且相互有关系，就要考虑是否要换元到独立变量了。

简谐振动相位计算

这个是竞赛为了增加计算量而独有的一坨题目。特点是包含不止一个运动过程，每次切换过程，需要用速度和位移，以及平衡点的位置，确定下一个过程的振幅的相位。常见的办法是直接对比运动方程： A(t)?A0cos(?t??)；A(t)???A0sin(?t??)

或者比较能量方程。

这个计算过程相对来说较长，每个状态结束的时候，振幅、相位、位移、速度之类的一般会作为采分点出现。

简谐振动的复赛表示

有欧拉公式ei ?cos ?isin

简谐振动x?Acos?t，也可以用x?ei?t的实部来表示。 写成指数函数的好处是，对x求导，就相当于乘以i?，即：di?te?i?ei?t dt

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kkx，即可写成(i?)2x??

x，解得??mm我们可以用这个办法来考虑一下阻尼振动，即振动的时候受到一个f???v的阻力。 简谐振动的判定x??

牛顿第二定律：x??mx?kx?0 m?k)x?0 m用复数表达：(??2?i??m有解，即x?0，则有：?

2?i??

m??k i?0，?

?2mm

我们令?0?

???则，??i? 2m

（1）

?02??2时，x??Ae??t，阻尼振动

(（2）

?02??

2时，x?Ae1?)t?A2e(?)t，过阻尼

（3）?02??2时，临界阻尼

【例1】如图四根杆铰接，长度比为3：3：1：

1。短杆长度为l，两边吊着质量为m的重物，中间放

着原长为的弹簧，弹簧下端和短杆一起铰接在地面上，平衡的时候杆和水平角度为45?。始2

终保持左右对称，求微小振动的时候系统的周期。重力加速度为g。

【例2】【29届复赛第一题（17分）】设有一湖水足够深的咸水湖，湖面宽阔而平静，初始时将一体

积很小的匀质正立方体物块在湖面上由静止开始释放，释放时物块的下底面和湖水表面恰好接触。已知湖水密度为?；物块边长为b，密度为?'，且?'??。在只考虑物块受重力和液体浮力作用的情况下，求物块从初始位置出发往返一次所需的时间。

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【例3】【24届复赛第一题（20分）】如图所示，一块长为L?1.00m的光滑平板PQ固定在轻质弹簧

上端，弹簧的下端与地面固定连接。平板被限制在两条竖直光滑的平行导轨之间（图中未画出竖直导轨），从而只能地竖直方向运动。平板与弹簧构成的振动系统的振动周期T?2.00s。一小球B放在光滑的水平台面上，台面的右侧边缘正好在平板P端的正上方，到P端的距离为h?9.80m。平板静止在其平衡位置。水球B与平板PQ的质量相等。现给小球一水平向右的速度?0，使它从水平台面抛出。已知小球B与平板发生弹性碰撞，碰撞时间极短，且碰撞过程中重力可以忽略不计。要使小球与平板PQ发生一次碰撞而且只发生一次碰撞，?0的值应在什么范围内？取g?9.8m/s2

【例4】从北极向北纬30度某地之间挖一条直线的光滑轨道。将两个质量为m和M的刚性小球从两

个轨道洞口同时释放，在中间，发生完全弹性碰撞，然后发现m从洞口飞出后，又能从轨道另洞口进入。

a) 求两个球的质量比

b) 求m进入洞口到进入另一洞口之间经历的时间。（地球半径R?6.4?103km）

【例5】【24届复赛第一题（20分）】如图所示，一块长为L?1.00m的光滑平板PQ固定在轻质弹簧

上端，弹簧的下端与地面固定连接。平板被限制在两条竖直光滑的平行导轨之间（图中未画出竖直导轨），从而只能地竖直方向运动。平板与弹簧构成的振动系统的振动周期T?2.00s。一小球B放在光滑的水平台面上，台面的右侧边缘正好在平板P端的正上方，到P端的距离为h?9.80m。平板静止在其平衡位置。水球B与平板PQ的质量相等。现给小球一水平向右的速度?0，使它从水平台面抛出。已知小球B与平板发生弹性碰撞，碰撞时间极短，且碰撞过程中重力可以忽略不计。要使小球与平板PQ发生一次碰撞而且只发生一次碰撞，?0的值应在什么范围内？取

） g?9.8m/s2（提示，需要数值计算。

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第二部分 机械波

知识点睛

1. 实例引入：

如图为一粒石子落入水中后发生的事情，石子在水面上某处引起振动，由于相邻水分子间有力的作用，以及水的重力，周围的水也连带振动起来了。这是人类最早意识到的“波”。（可以计算，浅水中波速v满足v?。 gh,其中h为水的深度）

如图为艺术体操上的长绸舞，人只要抖起一端，整根绳子在绳张力的带动下就都运动起来了。越往右的绳子启动的时间就越晚，所以在绳子上就形成了波形图。

如图为人浪，在足球赛场上比较常见，当某人因为某种情绪决定开始上下振动的时候，他旁边的人受到他的感染也开始上下振动，振动依次传染出去，大家的头顶形成的图形就叫“波形”，波形平移就叫波的传播，平移的速度就叫波速。

【思考】有个成语叫“随波逐流”，那么“波”真的是我们看到的物质在“流”么，上面人浪问题中，形成波的人群的头，是否因为波的传播在平移？

2. 机械波的形成

通过上述实例，我们认识到：机械振动在介质中的传播形成机械波，波传递的是振动和能量，而介质本身并不迁移。

机械波产生条件为：

1）振源；

2）能传递振动的介质。

在宏观上，可将气体、液体或固体当作连续体，其体内各个相邻的质元间以相互作用力维系着。这些物质都可以看做是介质。

如图：研究机械波常用的建模方法是把介质看成具备相互作用力的质点，通过对局步列动力学方程研究波形的形成与传播。由于数学上难度较大，本讲讲义就不从力的角度给大家推导波形形成的规律了，直接引入振动函数进行推导。

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下面我们用一串质点演示一列波的形成：

t=0时刻，一列质点处于平衡位置，但是x=0位置的质点已经开始向上运动

.

t?T时刻，0号质点已经振动到了最高点，但是x=0位置的质点由于启动的晚了一点，所以正努4

力向上振，依次，越往后的质点启动越晚，向上的位移越少，而x=3位置的质点刚刚开始向上运动。

t?T时刻，0号质点已经完成了半次全振，1号质点正追随0号振向平衡位置，顺次…x=6位置2

的质点刚启动，注意对比这张图片与上张，刚才位于0号位置的一个“波峰”经过四分之一周期，已经“平移”到了3号位置，整个波形向右“运动”了，所以波的传播也是“波形”的平移。

t?3T时刻，以上规律依然成立，具体不解释。

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t?T时刻，振源完成一次全振，介质上形成一个完成的振动图像，我们把这个图形的空间周期叫波长，用字母?表示。如果介质均一，传播速度v也一定，根据v?s，再结合刚才的分析，当t?Tt

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