江苏省丁蜀高级中学高一数学竞赛选拔试题

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一．选择题：

1.已知x1, x2是关于x的方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个实根，那么x12+x22的最大值为 （ ） A．19 B. 17 C.

D.18

2 已知f(x)=

+f(

)+f(

，则和f(

)+…+f(

)+f(

)+…+f(

)+f(

)+f(

)+…+f(

)+…

)的值等于 （ ）

DC1

A．10000 B. 5000 C.1000 D.100

A1

D

1111)(1 )(1 )(1 )等于( ). 223292102

51117A． B. C. D.

1222010

3．乘积(1

C

AB4、如图：已知长方体ABCD-A1B1C1D1 中，交于顶点A的三条棱长别为AD=3，AA1=4,AB=5。一

天，小强观察到在A处有一只蚂蚁,发现顶点C1处有食物,于是它沿着长方体的表面爬行去获取食物,则蚂蚁爬行的最短路程是（ ） A、74 B 、52 C、4 D、

3

5、如图:正三棱锥S－ABC的侧棱与底面边长相等，如果E，F分别是SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（ ） A.90° B.45° C.60° D.30° 二．填空题：

1．已知：a、b、c都不等于0，且

2004

abcabc 的最大值为m，最小值为n，则 |a||b||c||abc|

(m+n) ＝_________.

2．甲、乙、丙、丁、戊五位同学，看五本不同的书A、B、C、D、E，每人至少要读一本书，但不能重复读同一本书，甲、乙、丙、丁分别读了2、2、3、5本书，A、B、C、D分别被读了1、1、2、4次。那么，戊读了_______本书，E被读了______次。

1,x为有理数， 0,x为有理数，3.已知函数f(x) 当x R时，fg x _______, g(x)

0，x为无理数. 1，x为无理数.

g f x _______.

4、拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费为f(m) 1.06 (0.50 m 1)， 其中m＞0，

m 表示不超过

元

m的最大整数，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的通话费为

5.,函数y log1sin(

2

1

x ,的单调递增区间是23

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6,当0 x

2

时,

函数f(x) x 2cos2x m的最大值为2008,则它的最小值等

于 .

7.函数f(x) x5 ax3 x2 bx 2,若f(2) 3,则f( 2)的值等于 . 三．解答题：

1、甲、乙两人到物价商店购买商品，商品里每件商品的单价只有8元和9元两种．已知两人购买商品的件数相同，且两人购买商品一共花费了172元，求两人共购买了两种商品各几件？ 2、 长方形四边的长度都是小于10的整数(单位:厘米),这四个长度数可以构成一个四位数,这个四位数的千位数字与百位数字相同,并且这个四位数是一个完全平方数,求这个长方形的面积.

3.已知函数f(x)定义在非负整数集上，并且对于任意正整数x，都有f(x)=f(x f x ，如果f(3)=2007，求f(2007)

2

4. 已知二次函数f（x）＝ax＋bx（a、b是常数且a≠0）满足条件：f（2）＝0且方程f（x）＝x有等根．（1）求f（x）的解析式；（2）问是否存在实数m、n（m＜n）使f（x）的定义域和值域分别为［m，n］和［2m，2n］，如存在，求出m、n的值；如不存在，说明理由．

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丁蜀高级中学高一数学竞赛试题答案

一．选择题

1.已知x1, x2是关于x的方程x2-(k-2)x+k2+3k+5=0的两个实根，那么x12+x22的最大值为 (A) 19 (B) 17

(C)

(D) 18 答案：D

2.已知f(x)=

+f(

)+f(

，则和f(

)+…+f(

)+f(

)+…+f(

)+f(

)+f(

)+…+f(

D)+…

C1

)的值等于

(A) 10000 (B) 5000 (C) 1000 (D) 100 答案：B

A1

D

1111

3．乘积(1 2)(1 2)(1 2)(1 2)等于( ).

23910

51117(A) (B) (C) (D) 答案：C 1222010

C

A

B

4、已知如图：长方体ABCD-A1B1C1D1 中，交于顶点A的三条棱长别为AD=3，AA1=4,AB=5。一天，小强观察到在A处有一只蚂蚁,发现顶点C1处有食物,于是它沿着长方体的表面爬行去获取食物,则蚂蚁爬行的最短路程是（ ） A、74 B 、52 C、4 D、

3

5、如图:正三棱锥S－ABC的侧棱与底面边长相等，如果E，F分别是SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（ ）

A.90° B.45° C.60° D.30° 答案：B 二．填空题

1．已知：a、b、c都不等于0，且

abcabc

的最大值为m，最小值为n，则 (m+n) |a||b||c||abc|

2004

＝_________. 答案：0

2．甲、乙、丙、丁、戊五位同学，看五本不同的书A、B、C、D、E，每人至少要读一本书，

但不能重复读同一本书，甲、乙、丙、丁分别读了2、2、3、5本书，A、B、C、D分别被读

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了1、1、2、4次。那么，戊读了_______本书，E被读了______次。

答案： 1，5

3.已知函数

1,x为有理数， 0,x为有理数，当f(x) g(x)

0，x为无理数. 1，x为无理数.

x R

时，

f g x _______,g x_ f

__ ____.

答案：f[g(x] 1 g[f(x)] 0

4、拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费为f(m) 1.06 (0.50 m 1)， 其中m＞0，

m 表示不超过

m的最大整数，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的通话费为

元。 答案：3.71 5.,函数y log1x

2

12

3

,的单调递增区间是答案：)

(4k

,4k ]

33

6,当0 x

2

时,

函数f(x)2x 2cos2x m的最大值为2008,则它的最小值等

于 .答案：2005

7.函数f(x) x5 ax3 x2 bx 2,若f(2) 3,则f( 2)的值等于答案：9

三．解答题：

1、甲、乙两人到物价商店购买商品，商品里每件商品的单价只有8元和9元两种．已知两人购买商品的件数相同，且两人购买商品一共花费了172元，求两人共购买了两种商品各几件？

解：设每人购买了n件商品，两人共购买了单价为8元的x件，单价为9元的有y件．则

x y 2n, x 18n 172,

解之，得

8x 9y 172.y 172 16n.

因为x 0,y 0，所以9

x 8,53

n 10． 所以整数n 10．故 94 y 12.

2、 长方形四边的长度都是小于10的整数(单位:厘米),这四个长度数可以构成一个四位数,这个四位数的千位数字与百位数字相同,并且这个四位数是一个完全平方数,求这个长方形的面积.

解: 设长方形的边长为xcm、ycm，

则四位数N=1000x+100x+10y+y=1100x+11y=11（100x+y）=11（99x+x+y）

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∵N是一个完全平方数，11为质数，∴x+y能被11整除， 又∵1≤x≤9，1≤y≤9 ∴2 ≤x+y≤18，得x+y=11

∴N=11（99x+x+y）=112（9x+1） ∴9x+1是一个完全平方数， 经试算知当x=7时满足条件，故y=4，从而长方形的面积=7×4=28cm2.

3.已知函数f(x)定义在非负整数集上，且对于任意正整数x，都有 f(x)=f(x f x 若

f(3)=2007，求f(2007)

解：∵对于任意正整数x，有 f(x)=f(x-1)+f(x+1) ∴f(x+1)=f(x)+f(x+2)

f(x+2)=f(x+1)+f(x+3) 将上面三式相加，得 f(x+3) = - f(x)

∴f(x+6)=f[(x+3)+3]= -f(x+3)=f(x) ∴f(x)是以6为周期的周期函数 ∴f(2007)=f(6×334+3)=f(3)=2007

2

4. (本小题14分) 已知二次函数f（x）＝ax＋bx（a、b是常数且a≠0）满足条件：f（2）＝0且方程f（x）＝x有等根． （1）求f（x）的解析式；

（2）问是否存在实数m、n（m＜n）使f（x）的定义域和值域分别为［m，n］和［2m，2n］，如存在，求出m、n的值；如不存在，说明理由．

解 ：：

分析：本题是一道确定函数解析式、定义域、值域为一体的综合题，应从f（2）＝0和f（x）＝x有等根着手，进行各个击破．

2

解：（1）∵方程ax＋（b－1）x＝0（a≠0）有等根， ∴

＝(b－1)2－4a 0＝0 b＝1．

112

．∴f(x)＝－x＋x． 22

111112

（2）∵f(x)＝－(x－1)＋ ，∴2n ，即n ．

22224111

1)2＋的对称轴方程为x＝1，∴当n 时，f（x）在［m，又二次函数y＝－(x－224

又f（2）＝0，∴4a＋2b＝0．∴a＝－

n］上为增函数，

12

－2m－m＝0 m＝0或m＝－2，f(m)＝2m

设m、n存在，则 即

12 f(n)＝2n－n－n＝0 n＝0或n＝－2． 2

1 m＝－2，

∵m＜n ，∴ 即存在实数m＝－2，n＝0使f（x）的定义域为［－2，0］，值

4 n＝0．

域为［－4，0］．