工程力学—平面汇交力系Word

　　第 2 章

　　平面汇交力系

　　引言力系分为：平面力系、空间力系 ①平面汇交力系 ②平面力偶系 ③平面平行力系 ④平面一般力系

　　平面力系

　　平面特殊力系 平面任意力系

　　平面汇交力系： 各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。研究方法：几何法、解析法。 例：起重机的挂钩。

　　2.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法2.1.1 平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则c F1 A F3 d F4 e d F4 e FR F1 a F3

　　F2F3

　　F2

　　F2

　　bF1 a FR

　　c

　　F4

　　b

　　各力矢与合力矢构成的多边形称为力多边形。 力多边形中表示合力矢量的边称为力多边形的封闭边。 用力多边形求合力的作图规则称为力的多边形法则。

　　2.1.1 平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则

　　结论：平面汇交力系可简化为一合力，其 合力的大小与方向等于各分力的矢量和 (几何和),合力的作用线通过汇交点。 用 矢量式表示为：

　　FR F1 F2 Fn F如果一力与某一力系等效，则此力称为该 力系的合力。

　　2.1.2 平面汇交力系平衡的几何条件F2 F3 F5 F4 R 在上面几何法求力系的合力中，合力为 零意味着力多边形自行封闭。所以平面 汇交力系平衡的必要与充分的几何条件 是： 力多边形自行封闭 或 力系中各力的矢量和等于零

　　F1

　　用矢量式表示为：

　　Fi 0

　　在平衡的情形下，力多边形中最后一力的终点 与第一力的起点重合，此时的力多边形称为封闭的力 多边形。于是，平面汇交力系平衡的必要与充分条件 是：该力系的力多边形自行封闭，这是平衡的几何条 件。

　　[例1] 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍 物。求作用在中心的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。 解： ①选碾子为研究对象

　　②画分离体的受力图 ∵当碾子刚离地面时NA=0,拉力F最大，这时拉力F和自重及支反力NB构成 一平衡力系。 由平衡的几何条件，力多边 形封闭，故

　　F P tg

　　NB P cos

　　r 2 (r h) 2 0.577 又由几何关系： tg r h

　　P=20kN

　　所以

　　F=11.5kN , NB=23.1kN

　　由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于23.1kN。 此题也可用力多边形方法用比例尺去量。

　　2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法2.2.1 力在坐标轴上的投影y F Fy

　　Fx F cos Fy F cos 注意:正负问题

　　x Fx

　　O y

　　2.2.2 力的正交分解与 力的解析表达式

　　F Fx Fy Fx i Fy j

　　Fy jO

　　F Fxx

　　i

　　2.2.3合力投影定理合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在 同一轴上投影的代数和。证明： 以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力F1 、F2、F3 如图。F1 B F1

　　AF2

　　A R

　　F2 C

　　F3(a)

　　D

　　F3 x

　　(b)

　　各力在x 轴上投

　　影：

　　F1x ab

　　F2 x bc F3 x dc

　　F1A R

　　B

　　F2 C

　　合力 R 在x 轴上投影：

　　Da

　　F3 x

　　Rx ad ab bc dc Rx F1x F2 x F3 x

　　b d c (b)

　　推广到任意多个力F1、F2、 Fn 组成的平面共点 力系，可得：

　　Rx F1x F2 x F3 x Fnx Fx

　　2.2.3合力投影定理 平面汇交力系的合力在某轴上的投影，等 于力系中各个分力在同一轴上投影的代数和。

　　FRx Fxi2 Ry

　　FRy FyiFR F F ( Fxi ) ( Fyi )2 Rx 2 2

　　FRx cos( FR , i ) FR

　　cos( FR , j)

　　FRy FR

　　2.2.4 平面汇交力系的平衡方程从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是 该力系的合力为零。

　　FR ( Fxi )2 ( Fyi )2 0

　　Fxi 0

　　Fyi 0

　　平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在 作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和等于零。 上式称为平面汇交力系的平衡方程。注意:1.X轴和Y轴只要不相互平行即可；2.最多只能求解两个未知量；3.未知力的方向可以任意 假使。4.投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只 有一 个未知数。

　　[例2] 已知 P=2kN

　　求SCD , RA

　　解:

　　1. 取AB杆为研究对象 2. 画AB的受力图3. 列平衡方程

　　X 0

　　RA cos SCD cos450 0

　　Y 0 P RA sin SCD sin450 04. 解方程 由EB=BC=0.4m, 解得：

　　EB 0.4 1 t g AB 1.2 3 0 P cos 45 SCD 4.24 kN ; R A SCD 3.16 kN 0 0 sin 45 cos45 tg cos

　　例3 求图示平面刚架的支反力。 解：以刚架为研究对象，受 力如图，建立如图坐标。

　　P4m

　　X 0 : RA cos P 0 Y 0 : RA sin YB 0由几何关系5 2 5 sin , cos 5 5

　　A8m

　　B

　　PA

　　y

　　B

　　RA

　　解得

　　5 1 RA P, YB P 2 2

　　x

　　YB

　　解题技巧及说明：1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用 几何法(解力三角形)比较简便。 2、一般对于受多个力作用的物体，无论角度不特殊或特殊， 都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一 个未知数。 4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。

　　5、解析法解题时，力的方向可以任意假设，如果求出负值， 说明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力， 如果求出负值，说明物体受压力。

　　习题： 三种简易起重机如图所示。A、B、C三处均为光滑铰链连接。不计 各杆和滑轮的重量，略去滑轮大小。若匀速吊起重量G=1.5kN的物体，求杆 AB、AC所受的力。