圆的标准方程教学设计

圆的标准方程

第一课时

一、教材分析

本节内容是解析几何中基本的知识之一，位于曲线的方程和方程之后，是求具体曲线的方程，在整个解析几何中起着承前启后的作用，是圆锥曲线的前奏曲。

二、学情分析

圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的。 但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强。

三、教学目标

(1) 知识目标：在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程；会由圆的方程

写出圆的半径和圆心，能根据条件写出圆的方程。

(2) 能力目标：培养学生用坐标法研究几何问题的能力，加强数形结合能力；

(3) 情感目标：培养学生主动探究知识、合作交流的意识；

四、教学重点与难点

(1)重点: 圆的标准方程的求法。

(2)难点：选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题。

五、教学过程

（一）复习引入（启迪思维）

前面我们已经学习过直线方程的概念，直线斜率及直线方程的常见表达式，我们知道了关于x ,y的二元一次方程都表示一条直线，那么曲线方程会有怎样的表达式呢？

圆的定义：到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长是半径。由圆的定义，一个圆的基本要素是确定圆心和半径，那么可以用圆心和半径来表示圆的方程吗？

（二）深入探究（获得新知） 如图，设M（x ,y）是圆上任意一点，根据定义点M到圆心C等于r,所以圆C就是集合P={M||MC|=r}

由两点间的距离公式，点M适合的条件可表示为

(x a)2 (y b)2 r ①

把①式两边平方，得(x―a)2＋(y―b)2＝r2

方法二：图形变换法

方法三：向量平移法

教师引导学生观察方程，分析、归纳出方程的特征。

方程特征：（1）含有a,b,r三个参数；

（2）已知方程可以找出圆心和半径。

（三）应用举例（巩固提高）

I．直接应用（内化新知）

1．圆心在原点，半径是3的圆的标准方程为：

2．圆心在x轴上，半径为1，且过点(－1,1)的圆的标准方程为：

II．灵活应用 提升能力

例1：求满足下列条件的各圆的方程：

(1)圆心在y轴上，半径是1，且过点(1,2)；

(2)圆心在点C(3,4)，半径是5；

(3)经过点P(5,1)，圆心在点C(8，－3)．

解析：根据题设条件，可利用圆的标准方程解决．

(1)x2＋(y－2)2＝1；

(2)(x－3)2＋(y－4)2＝5；

(3)解法一：∵圆的半径r＝|CP|＝ －2 ＋＋2＝5，圆心在点(8，－3)．

∴圆的方程是(x－8)2＋(y＋3)2＝25.

解法二：∵圆心为C(8，－3)，故设圆的方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝r2.

又∵点P(5,1)在圆上，

∴(5－8)2＋(1＋3)2＝r2，

∴r2＝25，

∴所求圆的方程是(x－8)2＋(y＋3)2＝25.

点评：确定圆的标准方程只需确定圆心的坐标和圆的半径，因此圆心和半径被称为圆的两要素．

练习1：写出下列方程表示的圆的圆心和半径．

(1)x2＋y2＝2；

(2)(x－3)2＋y2＝a2(a≠0)；

(3)(x＋2)2＋(y＋1)2＝b2(b≠0)．

解析：搞清圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)中，圆心为(a，b)，半径为r，本题易于解决．

(1)圆心(0,0)，半径为2.

(2)圆心(3,0)，半径为|a|.

(3)圆心(－2，－1)，半径为|b|.

例2． 已知两点P(－5,6)和Q(5，－4)，求以P，Q为直径端点的圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外．

解析：由已知条件及圆的性质可知，圆心M在直径PQ的中点处，

∴圆心M的坐标为(0,1)，

11半径r＝2|PQ|＝2× －5－5 ＋ 6＋4 ＝52.

∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50.

∵|AM|＝ 2－0 ＋ 2－1 5<r，

∴点A在圆内．

∵|BM|＝ 1－0 ＋ 8－1 50＝r，

∴点B在圆上．

∵|CM|＝ 6－0 ＋ 5－1 52>r，

∴点C在圆外．

∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50.

点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外．

点评：点M(x0,y0)与圆(x a)2 (y b)2 r2的关系的判断方法：

（1）(x0 a)2 (y0 b)2>r2，点在圆外

（2）(x0 a)2 (y0 b)2=r2，点在圆上

（3）(x0 a)2 (y0 b)2<r2，点在圆内练习2：判断点M(6,9)，N(3,3)，O(5,3)与圆(x－5)2＋(y－6)2＝10的位置关系．

解析：∵圆的方程为(x－5)＋(y－6)＝10，

分别将M(6,9)，N(3,3)，O(5,3)代入得

(6－5)2＋(9－6)2＝10，

∴M在圆上；

(3－5)2＋(3－6)2＝13>10，

∴N在圆外；

(5－5)2＋(3－6)2＝9<10，

22

∴O在圆内．

例3： ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7, 3),C(2, 8),求它的外接圆的方程 解：设所求圆的方程是(x a)2 (y b)2 r2． ①

因为A(5,1),B(7, 3),C(2, 8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①．于是

a 2 解此方程组， 得 b 3

r2 25

所以 ABC的外接圆的方程是 (x 2)2 (y 3)2 25 ．

总结归纳：比较例（2）可得出 ABC外接圆的标准方程的两种求法： ① 根据题设条件，列出关于a、b、r的方程组，解方程组得到a、b、r得值，写出圆的

标准方程.

②根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.

（四）反馈训练——形成方法

问题五反馈练习：课本P121 的练习2、3（学生板演）

（五）小结反思——拓展引申

1．课堂小结

把圆的标准方程、点与圆的关系加以小结，提炼数形结合的思想和待定系数的方法

（1）圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为：(x a)2 (y b)2 r2 ；

圆心在原点时，半径为r 的圆的标准方程为：x2 y2 r2.

（2） 求圆的方程的方法：

①公式法

②待定系数法

（3）点与圆的位置关系

22点P x0,y0 在圆外,则 x0 a y0 b r2

点P x0,y0 在圆上,则 x0 a y0 b r2 22

点P x0,y0 在圆内,则 x0 a y0 b r2 22

2．课后作业 课本P12 4的习题4.1A组2、3、4