第三章_空间向量与立体几何_章末检测卷_(人教A版选修2-1)

　　第三章 空间向量与立体几何 章末检测卷

　　一、选择题

　　1．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是

　　A．若ab＝0，则a＝0或b＝0

　　B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0

　　C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b

　　D．若ab＝ac，则b＝c

　　2．已知平面α和平面β的法向量分别为m＝(3,1，－5)，n＝(－6，－2,10)，则( )

　　A．α⊥β B．α∥β

　　D．以上都不对

　　( ) ( ) C．α与β相交但不垂直 3．已知向量a＝(0,2,1)，b＝(－1,1，－2)，则a与b的夹角为

　　A．0 B．45 C．90 D．180

　　→→4.如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB＝a，AD

　　→→＝b，AA1＝c，则用向量a，b，c可表示向量BD1等于( )

　　A．a＋b＋c

　　C．a＋b－c B．a－b＋c D．－a＋b＋c

　　5．若平面α的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是

　　naA．cos θ＝ |n||a|

　　naC．sin θ＝ |n||a| ( ) |na|B．cos θ＝ |n||a||na|D．sin θ |n||a|

　　→→→→→→6．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足ABAC＝0，ACAD＝0，ABAD＝0，

　　则△BCD是

　　( ) A．钝角三角形 C．直角三角形 B．锐角三角形 D．不确定

　　( ) 7．在以下命题中，不正确的个数为 ．

　　①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；

　　②对a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；

　　→→→→③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP＝2OA－2OB－OC，则P，A，

　　B，C四点共面；

　　④|(ab)c|＝|a||b||c|.

　　A．2 B．3 C．4 D．

　　1

　　8.已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，

　　PD，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是

　　→→A.PC与BD

　　→→C.PD与AB →→B.DA与PB →→D.PA与CD ( )

　　9．设E，F是正方体AC1的棱AB和D1C1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A1ECF成60角的对角线的数目是

　　A．0 B．2 C．4 ( ) D．6

　　10.如图，AB＝AC＝BD＝1，AB?面M，AC⊥面M，BD⊥AB，

　　BD与面M成30角，则C、D间的距离为

　　A．1

　　C.2 B．2 3 ( )

　　11．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC、AD

　　→→的中点，则AEAF的值为

　　A．a2 12 2 32a 4 ( ) 1C.a2 4

　　12.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC

　　＝AA1，∠ABC＝90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线

　　EF和BC1的夹角是

　　A．45

　　C．90

　　二、填空题

　　→→→13．已知P和不共线三点A，B，C四点共面且对于空间任一点O，都有OP＝2OA＋OB

　　→＋λOC，则λ＝________.

　　14．已知A(2,1,0)，点B在平面xOz内，若直线AB的方向向量是(3，－1,2)，则点B的

　　坐标是_______________________．

　　15．平面α的法向量为m＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n＝(0，－1,1)，则平面α与

　　平面β所成二面角的大小为______．

　　π0，?)， 16.如图所示，已知二面角α—l—β的平面角为θ (θ∈??2?

　　AB⊥BC，BC⊥CD，AB在平面N内，BC在l上，CD在平面M

　　内，若AB＝BC＝CD＝1，则AD的长为________．

　　三、解答题

　　( ) B．60 D．120

　　17.已知四棱锥P—ABCD的底面是平行四边形，如图，M是PC的中

　　→→→点，问向量PA、MB、MD是否可以组成一个基底，并说明理由．

　　18.如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是C1D1，

　　1AB的中点，E在AA1上且AE＝2EA1，F在CC1上且CFFC1，试证 2

　　明ME∥NF.

　　19.如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上 一点，CP＝m.试确定m使得直线AP与平面BDD1B1所成角为60.

　　20．已知长方体ABCD—A1B1C1D1，AB＝2，AA1＝1，直线BD与平面

　　AA1B1B所成的角为30，F为A1B1的中点．求二面角A—BF—D的余弦值．

　　21．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为23的菱形，∠BAD ＝120，且PA⊥平面ABCD，PA＝26，M，N分别为PB，PD 的中点．

　　(1)证明：MN∥平面ABCD；

　　(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平 面角的余弦值．

　　22.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．

　　(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；

　　(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的 结论．

　　答案

　　1．B 2.B 3.C 4.D 5.D 6.B 7.C 8.A 9.C

　　10．C 11．C 12．B

　　13．－2

　　14．(5,0,2)

　　15．60或120 3－2cos θ

　　→→→17．解 PA、MB、MD不可以组成一个基底，理由如下：

　　连接AC、BD相交于点O，∵ABCD是平行四边形，

　　∴O是AC、BD的中点，

　　→1→→在△BDM中，MO＝(MD＋MB)， 2

　　→1→→→→在△PAC中，M是PC的中点，O是AC的中点，则MO＝PA，即PA＝MD＋MB，2

　　→→→即DA与MD、MB共面．

　　→→→∴PA、MB、MD不可以组成一个基底．

　　18．证明 由平行六面体的性质

　　→→→→ME＝MD1＋D1A1＋A1E

　　1→→1→＝1D1－AD＋1A 23

　　1→→1→＝－AB－AD－AA1， 23

　　→→→→NF＝NB＋BC＋CF

　　1→→1→＝＋AD＋CC1 23

　　1→→1→＝＋AD＋AA1， 23

　　→→∴ME＝－NF，又M，E，N，F不共线，

　　∴ME∥NF.

　　19.解 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，

　　B(1,1,0)，P(0,1，m)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，B1(1,1,1)，

　　D1(0,0,1)．

　　→→→则BD＝(－1，－1,0)，BB1＝(0,0,1)，AP＝(－1,1，m)，

　　→AC＝(－1,1,0)．

　　→→→→又由ACBD＝0，ACBB1＝0知，

　　→AC为平面BB1D1D的一个法向量．

　　设AP与平面BB1D1D所成的角为θ，

　　→→|APAC|→→则sin θ＝|cos〈AP，AC〉|＝→→|AP||AC|

　　＝2 2＋m2

　　236＝sin 60＝m. 232＋m2

　　6AP与平面BDD1B1所成角为60. 3故当m＝

　　20．解 以点A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

　　由已知AB＝2，AA1＝1，可得

　　A(0,0,0)，B(2,0,0)，F(1,0,1)．

　　又AD⊥平面AA1B1B，从而直线BD与平面AA1B1B所成的 角为∠DBA＝30，

　　23又AB＝2，∴AD＝， 3

　　23?从而易得D?00. 3??

　　易知平面AA1B1B的一个法向量为m＝(0,1,0)，设n＝(x，y，z)是平面BDF的一个法向量，

　　3?→→BF＝(－1,0,1)，BD＝?－2，，0， 3??

　　→?BF＝0?n则?， →?BD＝0?n

　　－x＋z＝0??即?， 3??－2x3y＝0令z＝1，可得n＝(13，1)， ∴cos〈m，n〉＝15mn＝|m||n|5155 即二面角A—BF—D的余弦值为

　　21．(1)证明

　　连接BD，因为M，N分别是PB，PD的中点，

　　所以MN是△PBD的中位线，

　　所以MN∥BD.

　　又因为MN?平面ABCD，BD?平面ABCD，所以MN∥平面ABCD.

　　(2)解 连接AC交BD于O，以O为原点，OC，OD所在直线 为x，y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示．

　　在菱形ABCD中，∠BAD＝120，

　　得AC＝AB＝23，BD＝3AB＝6.

　　又因为PA⊥平面ABCD，

　　所以PA⊥AC.在直角△PAC中，

　　AC＝23，PA＝26，AQ⊥PC，

　　得QC＝2，PQ＝4.

　　由此知各点坐标如下：

　　A(－3，0,0)，B(0，－3,0)，C3，0,0)，D(0,3,0)P(3，0,26)， M??3333???6，N－6， 22??22?

　　Q?326?. ，03??3

　　设m＝(x，y，z)为平面AMN的法向量，

　　33→由AM＝，－6?， 2?2?

　　3→AN＝?6?知 ?22?

　　＋2x3

　　2332x2＋6z＝0，6z＝0.

　　取z＝－1，得m＝2，0，－1)．

　　设n＝(x，y，z)为平面QMN的法向量，

　　53?→?3→由QM＝?－，QN＝－知 ，，，23??6?6236＋＝0，?－5

　　63－3

　　23?536?－6＋2＋3z＝0.

　　取z＝5，得n＝(22，

　　0,5)．

　　mn33于是cos〈m，n〉＝＝. |m||n|33

　　所以二面角A－MN－Q的平面角的余弦值为33

　　→→→22．解 设正方体的棱长为1.如图所示，以AB，AD，AA1为单位

　　正交基底建立空间直角坐标系Oxyz.

　　10，1，?，A(0,0,0)，D(0,1,0)， (1)依题意，得B(1,0,0)，E?2??

　　1→→－1，1，?，AD＝(0,1,0)． 所以BE＝?2??

　　在正方体ABCD—A1B1C1D1中，

　　因为AD⊥平面ABB1A1，

　　→所以AD是平面ABB1A1的一个法向量．

　　设直线BE和平面ABB1A1所成的角为θ，

　　→→|BEAD|12则sin θ＝＝3→→3|BE||AD|12

　　2故直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为3

　　(2)在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE. 证明如下：

　　1→→－1，1. 依题意，得A1(0,0,1)，BA1＝(－1,0,1)，BE＝?2?

　　→→设n＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，则由nBA1＝0，nBE＝0，

　　－x＋z＝0，??得? 1－x＋y＋z＝0.?2?

　　1所以x＝z，y.取z＝2，得n＝(2,1,2)．设F是棱C1D1上的点， 2

　　则F(t,1,1) (0≤t≤1)．

　　→又B1(1,0,1)，所以B1F＝(t－1,1,0)．

　　→而B1F?平面A1BE，于是B1F∥平面A1BE?B1Fn＝0?(t－1,1,0)(2,1,2)＝0?2(t－

　　11)＋1＝0?t＝?F为棱C1D1的中点．这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，2

　　使B1F∥平面A1

　　BE.