第五章级数
第五章 级数
5.2 数项级数敛散性的判定
例1.讨论下列级数敛散性. n??1?12n2?2n??; (1).???1?2??sin3?n?n4n?2n?1?n?1????3
??3n?ncos?n(2).????
?1??
n?1. n3n?1????
?1?1???证明:(1).
因为?lim?1?2??e?1,故??1?2?发散. nn??n??n?n?1?n2n3
?12n2?2n12n2?2n12n2?2n1又由于sin3收敛. ???,故?sin3n4n?2n?1n4n?2n?1n4n3?2n?1n2n?1
n??1?12n2?2n??发散. 故???1?2??sin3?n?n4n?2n?1?n?1???
n?3n?ncos3?ncos收敛. ?n,
且??1?1,于是(2).因为?nnnnn??3333n?1?3又arctan?
n?1??
2,故arctan?
n?1 单调有界,???
?1?
n?1?n收敛,于是阿贝尔判别法
??
?1?
n?1?n?
n?1收敛. ??3n?ncos???
?1?narctan?
n?1收敛. 故??3nn?1????
例2.若?an是收敛的正项级数,且?bn2收敛,证明:当??
n?1n?1??1时
2
1bsin?n14?2?2??n?12n???? ??
绝对收敛.
证明:(1).因为
0?
11?(a?); n2?2n
1n
4?2?2??
1
2
bnsin?bn
n
1
4?2?2??
12
?bn?
n
1
4?2?2??
12
1?21???bn?8?2?4??1?, 2?n?
?11
故当??时
,?bnsin1
4?2?2??2n?12n??
?绝对收敛. ??
??kn2sinn12?4
k?时,?an收敛. 例3.设lim?nan???1,证明:当n???3n?1??
?
an
证明:由已知条件lim?1,?an是正项级数. 12
n??
n
?knsin
n2
n?1
又
?knsin
2
1n2
0?n
sin
?1?
??k??n?
n2sin
1n
sin
1
?1???k??n?
nn2
,
11
sin2211且lim?1?,即当 ?1,故对???0,存在N?0,当n?N时,
n??44
n2n2
1sin23?5. n?N时,?
144n2
于是,当n?N时
0?n
?knsin
2
1n2
?1???k??n?
1
n2sin
1n
2
sin
1
?1???k??n?
n2
1?1?
??k??3k. ?n?
n4
34
???kn2sin44n
故当k?时,?n收敛,于是当k?时,?an收敛.
33n?1n?1
例4.判定下列级数是条件收敛还是绝对收敛? (1).
??
?1?
n?1?
?
n
ln
n32
n?3
; n?1
.
(2).
???1?e
n?1
5nn?
1??1??2??n?
?n7
解:(1).因为
?
?1?
?
n
un?
ln
n?32??
??1?? n?1?n?1?
;
3
22而??1,
n??nn?1
n
故
3
2
n?1
?
?
2n
收敛.于是??
?1?n?1n?1
ln
n?3
绝对收敛. n?1
(2).因为
?e
n4?
n22
1??1??2??n?
?n6
n4?
n24n216?1??n???no??226?n?n3
2
?n7
?e
n4?
n22
e
?1??n6ln?1??
?n?
?e
n4?
n22
e
?111?1???n6?2?4?6?o?6??
?n???n2n6n
?e?e
1?1?
??n6o??6?n?
,
故n?e
?
16
?1,于是???1?e
n?1
?
5nn?
1??1??2??n?
绝对收敛.
例5.判定
?
n?1
?
??1?
n
?n4?3n2?1?4
?
n?1?
?2?1
是条件收敛还是绝对收敛.
??24
解:(1).当???1时,
??1?
1
n
?n4?3n2?1?4
?2?1
发散.
??24
(2).当???1时,un?
?n4?3n2?1?4
?2?1
?
1
??24
?n
4
?3n2?1?
1
???1?24
单减趋于0.故
?
n?1
?
??1?
n
?n4?3n2?1?4
(3).因为
?2?1
收敛.
??24
1
?4n?
4?
1
???1?24
?
1
?n
4
?3n2?1?
1
???1?24
?n
1
4?1
???1?24
;
1
?4n????1?2?1?n
?4?3n2?1?1???1?24?1n???1?2, 故
当?????,?2???0,???时,?n?1??1?
??1?nn?2?1绝对收敛; (n4?3n2?1)??424
当????2,?1????1,0?时, ?n?1??2?1条件收敛. (n4?3n2?1)??424
例6.证明:当p?1时
, ?n?1?tan???lnn?p收敛. 解:因为
un?
而
?; lnnliman
n?
lnn?p
lnn ?limn?tann??
pn?lnn?n???limn??
?nn??; 2
1且 ? ??1
x?lnx? 1dx??p ?? 1?lnx?plnx, 故p?1时,原级数收敛.
?1例7.证明:p?
时
,?np
2n?1绝对收敛.
解:
令un?np,则因
?
?
?
?
?
?;
而
un?
于是 limn??|un|1?, 14
n3?p2
?31故当?p?1时,即p?时,?un绝对收敛. 22n?1
例8.证明:p?1时,
证明:令 1p?1p?2p?n?1?2?3?...??...收敛. npppp
Sn?
则 1p?1p?2p?3p?4p?n?2p?n?1?2?3?4?5?...??, n?1npppppppp?1p?2p?3p?4p?n?2p?n?1?2?3?4?...??. pppppn?2pn?1pSn?1?
故
3n因此,p?1时,psin??psin2??psin3??...?psinn??...收敛.
2
f??x??0,证明
: 例10.设f?x?在x?0处三阶可导,且f?0??0,limx?0x
???1??af???bf???a,b?R? n??n?1???
收敛.
f??x??0,得f??0??0,故 证明:由limx?0x
f??x??f??0?f??x?f???0??lim?lim?0, x?0x?0x?0x
于是 f?x??f?0??f??0?x?
?11f???0?x2?f????0?x3?o?x3? 2!3!1f????0?x3???x3?. 3!
故limx?0f?x?1?f????0?.因此 x33!
?1?f??1nlim?
3??f???(0)???,nn??3!?1????n?
于是
?1f???(0)???. 3!?n?1??????1??1?收敛,
故af?bff??收敛
,?f???a,b?R?. ????n?n?1?n?n?1??
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