第五章级数

　　第五章 级数

　　5.2 数项级数敛散性的判定

　　例1.讨论下列级数敛散性. n??1?12n2?2n??; (1).???1?2??sin3?n?n4n?2n?1?n?1????3

　　??3n?ncos?n(2).????

　　?1??

　　n?1. n3n?1????

　　?1?1???证明:(1).

　　因为?lim?1?2??e?1,故??1?2?发散. nn??n??n?n?1?n2n3

　　?12n2?2n12n2?2n12n2?2n1又由于sin3收敛. ???,故?sin3n4n?2n?1n4n?2n?1n4n3?2n?1n2n?1

　　n??1?12n2?2n??发散. 故???1?2??sin3?n?n4n?2n?1?n?1???

　　n?3n?ncos3?ncos收敛. ?n,

　　且??1?1,于是(2).因为?nnnnn??3333n?1?3又arctan?

　　n?1??

　　2,故arctan?

　　n?1 单调有界,???

　　?1?

　　n?1?n收敛,于是阿贝尔判别法

　　??

　　?1?

　　n?1?n?

　　n?1收敛. ??3n?ncos???

　　?1?narctan?

　　n?1收敛. 故??3nn?1????

　　例2.若?an是收敛的正项级数,且?bn2收敛,证明:当??

　　n?1n?1??1时

　　2

　　1bsin?n14?2?2??n?12n???? ??

　　绝对收敛.

　　证明:(1).因为

　　0?

　　11?(a?); n2?2n

　　1n

　　4?2?2??

　　1

　　2

　　bnsin?bn

　　n

　　1

　　4?2?2??

　　12

　　?bn?

　　n

　　1

　　4?2?2??

　　12

　　1?21???bn?8?2?4??1?, 2?n?

　　?11

　　故当??时

　　,?bnsin1

　　4?2?2??2n?12n??

　　?绝对收敛. ??

　　??kn2sinn12?4

　　k?时,?an收敛. 例3.设lim?nan???1,证明:当n???3n?1??

　　?

　　an

　　证明：由已知条件lim?1,?an是正项级数. 12

　　n??

　　n

　　?knsin

　　n2

　　n?1

　　又

　　?knsin

　　2

　　1n2

　　0?n

　　sin

　　?1?

　　??k??n?

　　n2sin

　　1n

　　sin

　　1

　　?1???k??n?

　　nn2

　　,

　　11

　　sin2211且lim?1?,即当 ?1,故对???0,存在N?0,当n?N时,

　　n??44

　　n2n2

　　1sin23?5. n?N时,?

　　144n2

　　于是,当n?N时

　　0?n

　　?knsin

　　2

　　1n2

　　?1???k??n?

　　1

　　n2sin

　　1n

　　2

　　sin

　　1

　　?1???k??n?

　　n2

　　1?1?

　　??k??3k. ?n?

　　n4

　　34

　　???kn2sin44n

　　故当k?时,?n收敛,于是当k?时,?an收敛.

　　33n?1n?1

　　例4.判定下列级数是条件收敛还是绝对收敛? (1).

　　??

　　?1?

　　n?1?

　　?

　　n

　　ln

　　n32

　　n?3

　　; n?1

　　.

　　(2).

　　???1?e

　　n?1

　　5nn?

　　1??1??2??n?

　　?n7

　　解:(1).因为

　　?

　　?1?

　　?

　　n

　　un?

　　ln

　　n?32??

　　??1?? n?1?n?1?

　　;

　　3

　　22而??1,

　　n??nn?1

　　n

　　故

　　3

　　2

　　n?1

　　?

　　?

　　2n

　　收敛.于是??

　　?1?n?1n?1

　　ln

　　n?3

　　绝对收敛. n?1

　　(2).因为

　　?e

　　n4?

　　n22

　　1??1??2??n?

　　?n6

　　n4?

　　n24n216?1??n???no??226?n?n3

　　2

　　?n7

　　?e

　　n4?

　　n22

　　e

　　?1??n6ln?1??

　　?n?

　　?e

　　n4?

　　n22

　　e

　　?111?1???n6?2?4?6?o?6??

　　?n???n2n6n

　　?e?e

　　1?1?

　　??n6o??6?n?

　　,

　　故n?e

　　?

　　16

　　?1,于是???1?e

　　n?1

　　?

　　5nn?

　　1??1??2??n?

　　绝对收敛.

　　例5.判定

　　?

　　n?1

　　?

　　??1?

　　n

　　?n4?3n2?1?4

　　?

　　n?1?

　　?2?1

　　是条件收敛还是绝对收敛.

　　??24

　　解:(1).当???1时,

　　??1?

　　1

　　n

　　?n4?3n2?1?4

　　?2?1

　　发散.

　　??24

　　(2).当???1时,un?

　　?n4?3n2?1?4

　　?2?1

　　?

　　1

　　??24

　　?n

　　4

　　?3n2?1?

　　1

　　???1?24

　　单减趋于0.故

　　?

　　n?1

　　?

　　??1?

　　n

　　?n4?3n2?1?4

　　(3).因为

　　?2?1

　　收敛.

　　??24

　　1

　　?4n?

　　4?

　　1

　　???1?24

　　?

　　1

　　?n

　　4

　　?3n2?1?

　　1

　　???1?24

　　?n

　　1

　　4?1

　　???1?24

　　;

　　1

　　?4n????1?2?1?n

　　?4?3n2?1?1???1?24?1n???1?2, 故

　　当?????,?2???0,???时,?n?1??1?

　　??1?nn?2?1绝对收敛; (n4?3n2?1)??424

　　当????2,?1????1,0?时, ?n?1??2?1条件收敛. (n4?3n2?1)??424

　　例6.证明:当p?1时

　　, ?n?1?tan???lnn?p收敛. 解:因为

　　un?

　　而

　　?; lnnliman

　　n?

　　lnn?p

　　lnn ?limn?tann??

　　pn?lnn?n???limn??

　　?nn??; 2

　　1且 ? ??1

　　x?lnx? 1dx??p ?? 1?lnx?plnx, 故p?1时,原级数收敛.

　　?1例7.证明:p?

　　时

　　,?np

　　2n?1绝对收敛.

　　解:

　　令un?np,则因

　　?

　　?

　　?

　　?

　　?

　　?;

　　而

　　un?

　　于是 limn??|un|1?, 14

　　n3?p2

　　?31故当?p?1时,即p?时,?un绝对收敛. 22n?1

　　例8.证明:p?1时,

　　证明:令 1p?1p?2p?n?1?2?3?...??...收敛. npppp

　　Sn?

　　则 1p?1p?2p?3p?4p?n?2p?n?1?2?3?4?5?...??, n?1npppppppp?1p?2p?3p?4p?n?2p?n?1?2?3?4?...??. pppppn?2pn?1pSn?1?

　　故

　　3n因此,p?1时,psin??psin2??psin3??...?psinn??...收敛.

　　2

　　f??x??0,证明

　　: 例10.设f?x?在x?0处三阶可导,且f?0??0,limx?0x

　　???1??af???bf???a,b?R? n??n?1???

　　收敛.

　　f??x??0,得f??0??0,故 证明:由limx?0x

　　f??x??f??0?f??x?f???0??lim?lim?0, x?0x?0x?0x

　　于是 f?x??f?0??f??0?x?

　　?11f???0?x2?f????0?x3?o?x3? 2!3!1f????0?x3???x3?. 3!

　　故limx?0f?x?1?f????0?.因此 x33!

　　?1?f??1nlim?

　　3??f???(0)???,nn??3!?1????n?

　　于是

　　?1f???(0)???. 3!?n?1??????1??1?收敛,

　　故af?bff??收敛

　　,?f???a,b?R?. ????n?n?1?n?n?1??