结构力学Word

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　　m y ( x)

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　　结构动力学第三讲 单自由度体系的有阻尼自由振动工程学院海洋工程系 刘臻

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　　系统的阻尼阻尼力的来源：结构与支撑之间的摩擦； 材料之间的摩擦； 周围介质的阻力。 阻尼力的特征：始终对质点运动起阻碍作用； 与质点速度方向相反。 阻尼力与质点速度的关系： 1)阻尼力与质点速度成正比，粘滞力； 3) 阻尼力与质点速度无关，摩擦力。2009-12-7

　　2)阻尼力与质点速度平方成正比，流体中的阻力；

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　　有阻尼自由振动系统的振动模型k m

　　my

　　..

　　c

　　y 单自由度体系的有阻尼自由振动微分方程为 :

　　cy

　　ky

　　my

　　m ..

　　my t cy t ky t 0无阻尼自由振动微分方程为 :

　　my t ky t 02009-12-7

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　　有阻尼自由振动系统的振动模型单自由度体系的有阻尼自由振动微分方程为 :

　　my t cy t ky t 0令：

　　k m2

　　c 2m 2

　　则振动微分方程可改写为：

　　y t 2 y t y t 02009-12-7

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　　有阻尼自由振动系统的振动模型

　　y t 2 y t y t 02

　　该方程的通解为：

　　y t Ce特征方程为：2 2

　　t

　　2 0特征方程的解：

　　1, 2 12

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　　有阻尼自由振动系统的振动模型

　　1, 2 12

　　有阻尼自由振动的特性与根式 ξ 2 1 的符号有关

　　1 所对应的阻尼系数c称为临界阻尼系数，记为ccr其计算公式为：

　　c 2m

　　Ccr 2m 2009-12-7

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　　有阻尼自由振动系统的振动模型

　　c 2m

　　Ccr 2m

　　c ccr

　　称为阻尼比(damping ratio) 反映了阻尼系数与临界阻尼系数之比。 一般结构或构件： 5%, 阻尼比是测出的。

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　　有阻尼自由振动系统的振动模型 (1)当 ξ1时

　　体系的阻尼系数小于临界阻尼系数，称为低阻 尼体系(under damping)。下式可写为 :

　　1, 2 2 1 i r其中， r 1 - ξ 2 称为阻尼固有频率。

　　振动微分方程 y t 2 y t 2 y t 0 的解为：

　　y t e

　　t

　　A1 cos rt A2 sin r t 2009-12-7

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　　有阻尼自由振动系统的振动模型y t e或： t

　　A1 cos rt A2 sin r t

　　t y t e A sin r t

　　其中：A1 及 A2或 A 及 由初始条件确定。

　　设当 t=0 时，初始位移 y 0 y0 ,初始速度 y 0 v0 , 将此初始条件代入方程解， 可得：

　　A1 y0

　　y0 v0 A2 r2009-12-7

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　　有阻尼自由振动系统的振动模型或： A

　　y

　　2 0

　　y0 v0 2 r

　　2

　　r y0 tan y0 v0

　　y t e

　　t

　　A sin r t 衰减因子

　　表示低阻尼下的自由振动，不是一个严格的周 期振动，是一个减幅的往复运动，可称为准周期振 动，其往复一次的周期时间为：

　　Tr

　　2

　　r

　　2

　　1 2

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　　有阻尼自由振动系统的振动模型其衰减简谐运动如下图所示。在有阻尼自由振动 中，由于阻尼不断消耗能量又没有外界能量补充， 因此结构系统总能量不断减少，振幅不断衰减。

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　　有阻尼自由振动系统的振动模型

　　(a)阻尼对固有频率的影响 有阻尼和无阻尼的固有频率 r 和

　　间的关系由式

　　确 r 1 ξ 2 确定。在 1的低阻尼情况下， r 恒小于 ,而且 r 随 的增大而减小。

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　　有阻尼自由振动系统的振动模型

　　一般材料的阻尼比都很小，例如钢(0.004-0.03), 木材(0.04),混凝土(0.05-0.08)等。对一般建 筑结构，其阻尼比约在0.01-0.1之间。如果 0.2 r 则0.961,即 r 与 的值很接近。所以说阻

　　尼对固有频率的影响很小，一般可认为 r 。

　　阻尼对固有频率基本无影响！2009-12-7

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　　有阻尼自由振动系统的振动模型(b)阻尼对振幅的影响

　　y t e

　　t

　　A sin r t

　　振幅为Ae t ,阻尼比出现在指数项，对振幅有 较大影响。 经过一个周期T后，相邻两个振幅 yk 1 与 y k 比 值为： yk 1 e tk T tk e T yk e

　　值愈大，振幅衰减速度愈快。2009-12-7

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　　有阻尼自由振动系统的振动模型(b)阻尼对振幅的影响

　　yk 1 e tk T T tk e yk e两边进行对数变换后可得：

　　yk 2 ln y T r k 1 若 0.2, 则 r

　　yk 2 ln y T r k 1 1 yk ln 2 yk 1 2009-12-7

　　,那么

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　　有阻尼自由振动系统的振动模型(b)阻尼对振幅的影响

　　yk ln 称为对数衰减率(logarithmic decrement) yk 1 yk 2 表征系统的阻尼情况，用符号 表示，定义为两个相邻 ln T 的同号位移值之比的自然对数，即 : r y k 1 2

　　r ξ 1

　　yk 2 2 ln 2 y 2 1 r k 1 对数衰减率与阻尼比只差一个常数倍。2009-12-7

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　　有阻尼自由振动系统的振动模型(b)阻尼对振幅的影响用 y k 和 y k n 表示两个相隔n个周期的振幅，可得：

　　1 r y k ln 2n yk n 当

　　0.2时，即 r

　　时，

　　yk 1 ln 2n yk n 对于阻尼较小的体系，取相隔几周的响应峰值来计 算阻尼比，可以获得更高的精度。2009-12-7

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　　阻尼的测量下图为自由振动衰减曲线。若由实验得到此曲 线就可用来确定阻尼比。

　　2009-12-7

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　　阻尼的测量1 r yk ln 若考虑两相邻幅值： 2 yk 1

　　如果 0.2,则 r ,

　　1 yk ln 2 yk 1

　　为了获得更高的精度和避免偶然因素产生的误 差，可以量测相隔n个周期的两个幅值。1 r y k ln 2n y k n yk 1 ln 2n y k n 2009-12-7

　　自由振动法

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　　有阻尼自由振动系统的振动模型 (2)当 ξ =1时 体系阻尼等于临界阻尼(critical damping)它是在 自由振动响应中不出现振动所需的最小阻尼值。此 时方程 的通解为2 t t A y t 2 y(2 t ) (y A1 t )e y t 0

　　设初始条件： t=0时初始位移为 y0 ,初始速度为v0 ,则：

　　A1 y0

　　A2 v0 y02009-12-7

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　　有阻尼自由振动系统的振动模型因此：

　　y t y0 v0 y0 t e t运动不呈振动形式，按指数规律随时间t的增大而逐 渐衰减以至消失。

　　2009-12-7

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　　有阻尼自由振动系统的振动模型 (2)当 ξ 1时 体系的阻尼大于临界阻尼时，称为超阻尼体系 (over damping)。这时方程的特征根为2 y t 2 y t y t 0

　　1,2 r2009-12-7

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　　有阻尼自由振动系统的振动模型相应的通解为: t rt rt y(t ) e ( A1e A2e )

　　设 t =0时，初始位移称为 y0 ,初始速度为v0 ,待定系数为：

　　v0 y0 1 A1 ( y0 ) 2 d 1 v0 y0 A2 ( y0 ) 2 0( y0 cosh r t

　　故： y(t ) e

　　t

　　v0 y0

　　r

　　sinh r t )2009-12-7

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　　有阻尼自由振动系统的振动模型运动也不再呈振动形式，而是按指数规律随时间t的增 大而逐渐衰减以至消失。 下图表示 1时 y(t ) 的时程曲线。从该图可以看到， 系统不出现振动现象，同时以 1 时衰减得最快。y(t ) e t

　　( y0 cosh r t

　　v0 y0

　　r

　　sinh r t )

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　　有阻尼自由振动系统的振动模型 有阻尼自由振动系统动画演示正初始速度负初始速度 零初始速度 较大的负初始速度

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　　课后练习 例2-4: 一个单层建筑物被理想化为无重柱支承的刚 性梁，如图。使横梁产生0.2m的位移需要在横梁处 施加20KN的横向作用力，在产生初始位移后突然 释放，往返摆动的最大位移为5mm,而循

　　环一周后 的位移为4mm,结构的周期为1.4s。求结构的 、c 及振动6周后的振幅。

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　　课后练习解: 结构的周期： 2 W T 2 1.4 kg 横梁的有效重量为：1.42 1.42 20 W kg 9.8 48.7(kN ) 2 2 1 (2 ) (2 ) 2 10

　　体系的固有圆频率为：

　　2 2 4.48(s 1 ) T 1.42009-12-7

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　　课后练习对数衰减率：y0 5 10 3 ln ln 0.223 3 y1 4 10

　　阻尼比和阻尼系数分别为：

　　48.7 c 2m 2 4.48 0.0355 1.58(kN s / m) 9.8振动6周后的振幅为 y1 y6 y 0 4 3 3 y 5 10 1 . 31 10 ( m) 0 5 2009-12-76 6

　　0.223 3.55% 2 2

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　　课后练习 例2-5 从实测得知结构的阻尼比为0.1。设结构在初 始位移的情况下开始振动，试求振动幅衰减到初始

　　位移的5%以下时所需的振动循环次数。

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　　课后练习 解：设振动n周后，振幅降到初始位移的5%以下。 因为, y0 1 ln 2n y n 则有, y0 1 1 1 n ln ln 4.77 2 y n 2 0.1 0.05 取 n 5 ,即经过五周振动后，振幅可降到初始位移 的5%以下。

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