_神奇的莫比乌斯圈_教学实录与评析

　　许洋执教（福建省厦门市第二实验小学）彭晓玫评析（福建省普通教育教学研究室）

　　教学内容：人教版《义务教育课程标准实验教科书数学》四年级上册第77页。

　　教学目标：

　　1.引导学生在对比探究中认识“莫比乌斯圈”，并会制作“莫比乌斯圈”。

　　2.组织学生动手操作，验证交流，体验“猜想——验证——探究”的数学思想方法。

　　3.让学生经历猜想与现实的冲突，感受“莫比乌斯圈”的神奇变化，感受数学的神奇魅力，激发学生学习数学的兴趣，培养探究精神。

　　教学准备：

　　教师：准备若干长方形纸条。学生：每人准备剪刀，水彩笔和若干长方形纸条。

　　教学过程：

　　活动一：认识“莫比乌斯圈”1.魔术导入。

　　师：其实，一条普通的纸条也有它神奇的地方呢。今天这节课，许老师就和同学们一起来玩一个数学游戏，我们一边玩一边研究，看看这样一根普普通通的纸条，究竟有多神奇！（板书：神奇）

　　2.制作普通纸圈。（1）观察。

　　师：观察许老师手中的这张普通的长方形纸条，它有几条边？几个面？

　　生：4条边，2个面。（板书：4条边，2个面）

　　师生边摸边数。（2）思考。

　　师：你们能把它的边变少一些，变成2条边、2个面吗？取1号长方形纸条，试试看。（板书：2条边，2个面）

　　（3）操作。

　　生动手试做圆形纸圈。

　　师：这个女生好聪明啊！她把这张纸条头尾相连卷成一个圈，来，我们一起做一个这样的纸圈。（板书：圈）

　　生动手做圆形纸圈。（4）验证。

　　师：这个纸圈真的只有2条边、2个面吗？我们一起用手摸一摸，数一数。上面一条边，下面一条边，里面叫内侧面，外面叫外侧面。（师生边摸边数）真厉害，果然只有2条边、2个面。

　　3.制作“莫比乌斯圈”。（1）思考。

　　师：来点高难度的，你能不能再变一变，把它的边变得更少一点，让它只有1条边，把它的面也变得更少一点，只有1个面，行不行？试试看。（板书：1条边，1个面）

　　生动手试做。

　　【评析】有趣的魔术激起学生的兴趣，

　　就做好了。简单吧，动手做一个，看谁做得又快又好。

　　教师演示，学生学做。（3）制作莫比乌斯圈。

　　生使用1号长方形纸片，制作成“莫比乌斯圈”。

　　（4）验证“只有一个面”。

　　师：有些同学很认真地观察这个纸圈，有些同学皱着眉头。是啊，这个纸圈真的只有1条边、1个面吗？我们一起来验证一下，你打算怎么验证“只有一个面”呢？有什么好办法？

　　生：用手从1号圆圈一直绕到完，就可以验证只有一条边、一个面了。

　　生演示用手绕一圈。

　　师：他的方法是把“1号”当成一个起点绕一圈最后再回到起点，就说明只有一个面是吗？这是个好办法，可惜用手指头绕不能留下痕迹，如果能留下痕迹，就更容易判断了，怎么办？

　　生：（演示）用水彩笔。设立一个起点，沿着虚线画下去，再回到起点。

　　师：好办法，大家都动手用这个办法验证一下。

　　生一起动手画并验证。（5）交流验证结果。

　　师：许老师手上有一个2个面的纸圈，（拿一个普通纸圈）我学着这位同学设一个起点，沿着虚线画一圈，当我从起点又回到起点，你们看，我只画过哪个颜色的面？

　　生：蓝色。

　　师：有没有画过白色的面？生：没有。

　　师：那说明它有几个面？生：有两个面。

　　有趣的问题促使学生思考和探究，在探究过程中，问题层层深入：由“一张普通长方形纸片，它有几条边？几个面？”到“你能把它变成两条边、两个面吗？”再到“想想办法，你能把它的边和面变更少一些，把它变成一条边、一个面吗？”问题层层深入，一个比一个更有难度，大大激发了学生的学习兴趣，也激发了学生探究的内心需求。

　　（2）介绍制作方法。

　　师：看来，同学们还没琢磨出来，没关系，就让许老师来试试看吧。许老师想这样做：先做成一个2条边、2个面的纸圈。现在我的左手不动，我的右手把蓝色的外侧面翻转到里面，和白色的内侧面粘在一起，用双面胶把虚线对着虚线粘在一起，

　　师：那我们看看你们刚才验证的这个纸圈，有没有画过蓝色的面？翻转检查一下有没有画过白色的面？

　　生：有。

　　师：我们从起点出发，再回到起点，不仅画过蓝色的面，还画过白色的面，这说明我们画的这个纸圈只有几个面？

　　生：只有1个面。

　　师：通过刚才的验证我们发现这个纸圈真的只有1个面。

　　（6）验证“只有一条边”。

　　师：这个纸圈是不是只有1条边呢？我们也用这个办法来验证一下。

　　师生一同动手验证。

　　师：从起点出发，沿着边走，再回到起点。有没有经过所有的边呢？

　　生：有。

　　师：那说明什么？生：真的只有1条边。

　　师：这个纸圈居然真的只有1条边、1个面。神奇吧！

　　【评析】从纸条到普通纸圈再到“莫比

　　师：（边剪边问）许老师沿着虚线一直剪，一直剪，就差一刀了，接下来，究竟会变成什么样呢？见证奇迹的时刻，三、二、一！

　　当学生都瞪大双眼屏住呼吸期待时，师突然停下剪刀。

　　师：这个奇迹就留给同学们见证吧！学生大笑，欢快地进行验证。（3）验证交流。

　　学生拿着纸圈，窃窃私语，发出惊奇的声音。

　　师：变成什么样子啊？是两个圈吗？生：不是。变成1个大圈。

　　师：为什么没有一分为二变成2个圈？而是变成1个大圈？

　　师：（揭密）其实这和“莫比乌斯圈”的特点有关系。普通的纸圈有2个面，剪时就会一分为二，变成2个圈，（拿普通圈剪）因为“莫比乌斯圈”只有1个面，所以不可能剪断。你们看，我们剪过蓝色这面又剪过白色这面，相当于剪了2个圈的长度，所以剪完变成了1个大圈，这是相当于原来几倍长的大圈呢？

　　生：相当于原来2倍长的大圈。（师板书：1个2倍长的大圈）师：这个2倍长的大圈还是“莫比乌斯圈”吗？我们拿水彩笔用学过的方法验证一下。

　　生用水彩笔验证，争论后得出结论：有2个面，不是莫比乌斯圈。

　　师：哦，变成1个普通的纸圈，神奇吧！生：神奇！2.剪“莫比乌斯圈”（

　　和绿色的边原本“老死不相往来”，现在我们把红色的边翻转到绿色的边，黏在一起，这个时候原本是一上一下的红绿两边就合二为一变成1条边了，所以，别小看这个小小的翻转，“莫比乌斯圈”就只有“1条边、1个面”了。神奇吧！

　　生：神奇！

　　师：莫比乌斯圈只有“1条边、1个面”又有什么好处呢？

　　师：（课件展示）如果把传动带做成2个面的圈，它就只磨损其中的1个面，总是用这个面很容易就磨坏了，而如果做成莫比乌斯圈，蓝色的面和白色的面交替使用，轮流磨损，就延长使用寿命了。打印机的色带也是如此，做成莫比乌斯圈，节约了材料，延长了使用寿命。神奇吧！

　　生：神奇！

　　师：其实“莫比乌斯圈”的神奇才刚刚开始呢！

　　【评析】不仅感受到“莫比乌斯圈”的

　　神奇还要知道它神奇的原因。了解它在生活中的应用，就更能让学生体会到：数学就在我们身边，正在为我们服务。

　　活动二：研究“莫比乌斯圈”1.剪“莫比乌斯圈”（

　　乌斯圈”，从验证普通纸圈到验证“莫比乌斯圈”，通过验证对比，学生经历了一个从熟悉到陌生、从普通到神奇的体验过程，使学生初步感受到“莫比乌斯圈”的神奇。

　　（7）介绍莫比乌斯圈。

　　师：像这样，只有“一条边、一个面”的神奇的“纸圈”是德国数学家莫比乌斯在1858年作研究时不经意间发现的，可别小看这个小纸圈，在当时，发现这样一个神奇的纸圈就好比在浩瀚的星空中发现了一颗不为人知的行星一样惊世骇俗，人们就用他的名字命名为“莫比乌斯圈”。也叫做“莫比乌斯带”。（课件展示莫比乌斯像）

　　（板书课题：神奇的莫比乌斯圈）（8）比较圆形纸圈和“莫比乌斯圈”的区别。

　　师：同一张纸，是什么原因使“莫比乌斯圈”只有“1条边、1个面”呢？

　　师：（边操作边解释）其实道理很简单，你们看这个纸圈，外侧面是蓝色，内侧面是白色，本来蓝色的面和白色的面“井水不犯河水”，可现在我们把蓝色这面翻转到白色这面，黏在一起，这个时候原本是一外一内的蓝白两面就合二为一变成1个面了，所以它只有1个面。而红色的边

　　??

　　）。??

　　生用2号纸条，制作1个莫比乌斯圈。（1）猜一猜。

　　师：如果沿着“莫比乌斯圈”中间的虚线也就是

　　??

　　的地方剪1圈，你们猜猜会变??

　　成什么样？（板书：猜）

　　生：可能会变成两个圈。（板书：两个圈）

　　师：你的意思是它们会“一分为二”变成两个圈是吧。你们同意吗？其他同学还有不同的猜法吗？学生认同可能会变成两个圈。

　　师：大家都认为会一分为二变成两个圈？这是你们的猜测，真的是这样吗？我们得验证一下。（板书：验证）怎么验证呢？

　　生：用剪刀剪。

　　师：我们就用剪刀剪一剪来验证吧。（板书：剪）

　　（2）剪一剪。

　　师：（介绍正确的剪法）不能横着剪，否则就断了，要先对折再剪。（师动作示范）

　　??

　　）。??

　　师：刚才，我们沿着莫比乌斯圈二分之一的虚线剪下去，原本以为会一分为二变成2个圈，没想到验证之后发现竟然变成一个2倍长的大圈，而且不是莫比乌斯圈，让很多同学简直不敢相信自己的眼睛，怎么样，莫比乌斯圈神奇吧！还有更神奇的，想不想玩？

　　生：（情绪激动，异口同声）想！生用3号纸条，制作一个莫比乌斯圈。师：现在虚线把这个莫比乌斯圈3等分，那么请你们再猜一猜，如果沿着虚线一直剪下去，会变成什么样？

　　生1：会变成一个3倍长的圈。我想沿

　　??

　　的??

　　??

　　的虚线剪是1个2倍长的圈，那么沿??

　　??

　　的虚线剪应该会是1个3倍长的圈。??

　　生2：会变成3个圈。沿着剪应该会剪成3个小圈。

　　（板书：猜测个小圈）

　　师：还有不同的猜法吗？认同是1个大圈的举手，认同是3个小圈的举手，究竟哪种猜测最给力？我们还是利用剪刀剪一剪来验证一下。（师动作示范正确的剪法）

　　师：看着许老师验证，你们的手不痒吗？想不想自己见证奇迹的时刻？那就赶快动手见证吧。

　　学生笑，欢快地进行验证、交流。学生举着纸圈，面面相觑，发出更加惊奇的声音。

　　师：变成什么样子啊？是3个圈吗？变成1个3倍长的大圈吗？变成什么样子啊？

　　生：变成1个大圈套着1个小圈。师：和你的猜想相同吗？生：（笑）完全不一样。

　　（师板书：1个大圈套着1个小圈）师：这个莫比乌斯圈怎么老和我们做对啊！刚才沿着

　　1个3倍长的大圈

　　3

　　话，“让学生了解莫比乌斯带”。这节课的教学目标教师定位为：在动手做中使学生了解、初步认识莫比乌斯圈；动手制作、自主探索莫比乌斯圈，感受数学知识的无穷奥秘，激发学习数学的浓厚兴趣；让学生领会“观察、猜测、想象、验证”是数学学习中非常有效的学习方法。为完成教学目标，教师设计了3个活动环节：一是做莫比乌斯圈，并验证它只有1条边、1个面；二是沿

　　着着

　　活动三：介绍莫比乌斯圈在生活中的应用

　　1.介绍生活中的“莫比乌斯圈”。师：一个看似简单的小纸圈，竟是如此的神奇，它可不仅好玩有趣，其实生活中你还能经常看到它的身影呢。（课件演示）

　　2.延伸。

　　师：原来莫比乌斯圈并不陌生，它就在我们身边，因为它的神奇魅力，后来很多人迷上了“莫比乌斯圈”，数学家们、科学家们通过对莫比乌斯圈的深入研究，就慢慢形成了一门新的学说——拓扑几何学。（板书：拓扑几何学）

　　【评析】再一次感受原来莫比乌斯圈

　　??

　　的虚线??

　　??

　　线剪，先猜猜可以剪成什么形状，再??

　　??线??

　　动手验证，并思考为什么；三是沿

　　剪，让学生猜两个问题：剪几刀，能剪成什么样的形状？再一次动手验证，让学生想想为什么。

　　从整节课来看，教师“靠发掘数学内涵取胜”，“学生一次又一次见证奇迹的发生，不可思议的现象在学生手下诞生”，“现场的教师、学生都被莫比乌斯圈的神奇所打动”，“数学有趣、数学好玩被表现得淋漓尽致”（曹培英语），较好地完成了教学目标，学生在“动手做”中深切地感受到了莫比乌斯圈的无穷魅力，激发了强烈的好奇心和创造欲望。以一张纸条导入，更让学生真切地感受到莫比乌斯圈魔术般神奇的变化，并为学生琢磨其中的奥妙做了铺垫。在这个变化过程中，教师并不是将莫比乌斯圈和盘托出，而是给学生创造和想象的时空。让学生通过实践证明：不单是莫比乌斯能发现这个圈，我们也能够创造。适时地放手，给了学生充分地自主创造的时间和空间，学生开动脑筋提出猜想、动手验证、愉快体验，十分有效地激发了学生的创造热情和发现欲望。

　　在动手探寻莫比乌斯圈的奇妙特点时，坚持让学生先“想一想”、“猜一猜”，剪完以后再“想一想”：为什么会是这样的？不只是让学生动手做，还让学生动脑想，有效地培养了学生的空间想象能力、“大胆猜测，小心求证”的意识以及勤于反思的习惯。

　　最后，莫比乌斯圈作为数学中一个重要的分支“拓扑学”的一个有趣问题，让有兴趣的同学课后继续研究。

　　（责任编辑贾振东）

　　神奇但并不神秘，它就在我们身边，为我们服务着。

　　活动四：课堂小结

　　师：这节课，我们把一张普通长方形纸条，变成了多么神奇的莫比乌斯圈，我

　　????

　　们沿着和的地方剪开“莫比乌斯

　　????圈”，感受到它神奇的魅力。其实，我们还可以沿

　　????

　　、的宽度剪开“莫比乌斯圈”，????

　　它又会带给我们什么新的惊喜呢？大家不妨同桌先猜猜，再动手剪一剪，最后验证你们的猜测！

　　师：希望这节课能给同学们有所启发，平时多留心观察，像今天这样大胆猜测、小心验证，凡事多问为什么，说不定下一个伟大的发现会在同学们身上诞生！

　　【评析】有了前面的学习基础，学生感

　　??

　　的地方剪，变成1个2??

　　??

　　的地方剪，为什??

　　倍长的大圈，现在沿着

　　么又变成1个大圈套着1个小圈？

　　师：（揭密）其实这还是和“莫比乌斯圈”的特点有关系。因为“莫比乌斯圈”只

　　受到“莫比乌斯圈”的神奇，经历了猜想验证的探究过程，并产生进一步探索“莫比乌斯圈”神奇的欲望，教师通过布置学生继续探索沿

　　??有1个面，所以剪不断，沿着的地方剪，

　　??还是跟刚才一样，剪出1个2倍大的圈，而中间红色的部分没剪到，所以还是原来的那个“莫比乌斯圈”，只不过它瘦身了，变得细细窄窄的。这样就变成1个大圈套着1个小圈了，神奇吧！

　　生：神奇！

　　【评析】学生动手，沿着“莫比乌斯圈”的

　　????

　　、的宽度剪开“莫比乌斯????

　　圈”，将这一节课的学生对神奇“莫比乌斯圈”的探索从课内延伸到了课外。

　　【总评】

　　莫比乌斯圈，又称莫比乌斯带，由德国数学家、天文学家奥古斯特费迪南德莫比乌斯于1858年发现并因此命名。莫比乌斯圈这节活动课对教师们来说都是很新奇的，从没接触过；对学生来说更是陌生，从没见过；参考书上对这个内容也没有任何介绍，只是在教学建议中有一句

　　????

　　和的地方剪下来，学生好奇而兴奋地????经历了“猜测——验证——探究”的过程，在学生一次又一次感受到神奇的同时，也潜移默化地渗透数学思想方法和数学的美。