数学文化讲座Word

　　数学文与化文化数学华师范大学数学东 系张宙 奠003.2 12 3.上海 目

　　录一。 数学是类文明的人火头。四车

　　个数学峰高 二争。中取国数学在界上的世等平与 独 三。立一些数文化的理论问题 学。 四学数文化角视

　　数学人是类明的火车文头 个数四学峰高

　　古希文腊明 - -几里欧得《何几本原 文艺》兴复-- 牛顿力 学微-积 分8119、纪人世类文 明伽-华罗论群、欧非何 几电学方磁程黎曼 几何爱与斯坦因相论 信息对代时文 明-- .冯 依曼诺算机计 案方

　　第一高：古希峰数腊学化文

　　“顶对角等”相是要证否？ 中明古国代算学没有的角念概， 谈不 上顶角。对 认这是显然的为，不需证 明 几。原本。何 命题1:对5顶角等。相用公理 3:等量减量等，其 差相。等A C B

　　古希腊和国的春秋战中国

　　古希腊邦城实奴隶行的主民“主政”治。 男性 奴隶选主执举官， 政决定财政、争等大战事 民。主需辩要， 论平地等服说 理性思。。 考 尚精崇神上真理追的 求国中春战秋国 实行君，统王。治知识分 子 可百家以鸣，争 是但说服君以王为标目。中 国古代 学数是官的管方理学。数崇实尚。用《九 章算术》以量丈田亩，配分徭役，工程土等方计算方法。

　　文差化决异数学文化定 ：理性绎数演 学用实管理学

　　数

　　中古国代算学中古代国算学的 算法以为特征 吴文继俊特点承以 机器明(证计算机 算法)国家获科奖 学 祖 之冲计算iP享世界 誉中国 学整体上比数

　　埃、巴比及伦、印度晚

　　第二峰高 牛、莱布尼兹发顿微明积分

　　文艺复兴：笛卡创儿解立几析何、坐， 标“动进入运学数。” 微积分思：想费论证马周长一：的矩形定正以 形方积面最大。无穷小取E量 BABA-B( ) (=BE)[A-+B(+)E]BA – B2= B A– B +2EA– 2BE E2 +理得到整( A2B)E- +E2= 0 去略E , 到结论 得 =AB2。

　　牛顿

　　自然：学之数学原哲理

　　186 7成完 1,367版“出流术数。”基督教 压科镇、处学死科家 基督学的教教义为科学下了空间：留生人是平 等的来。 室邀请王数学家入宫廷 进牛顿(爵士、莱布)兹尼是外家 交欧拉(国腓德特烈大帝请邀到林、柏俄国皇沙卡 列林世一请邀去彼得堡 中)除康国邀熙梅请鼎文以外， 数家不学受视重

　　7世纪1中国学数 牛顿发。微明积的分时代

　　奏 前610 6徐启和利光窦翻玛《译几原 本何前6卷》 1。960年 ，康帝熙传向教士晋等白学习 几学， 对数。 何1710, 年莱布兹尼将2制数表交进给白 ， 白晋把晋伏6羲4交卦莱布尼兹给。

　　鸦战片后的中国争数学 落欧后洲三百。年

　　李

　　善兰18(11 --18 2)。8 国传统中 学数最后人，一吸 西收方学数开，中国 创现数学代一人。第与伟列亚力1(851-1-867合)翻作译 几何《本》原后9,卷美国ooLim的《代 s积拾级微》18(95)。本用日此。书

　　中国

　　早的微最分译作积 李善兰18(11 – 1828

　　禾彳) 意思是∫天dx

　　克思韦尔

　　马第三峰： 1高-29世0纪初学成就数

　　131-1887

　　法9大革命国和国数学学派法柯(西蒙日、…)… 国德业的工起兴和丁根学派格(斯、高曼黎 群)、论非几欧、复数、何四数元分析的严密、化 … …(调理强思性)维个三伟大的方：程略少谈忽的学数 家热导方传 傅立叶 程内燃()机 体力流方学程拉普 拉斯( 空航) 磁学电程 马方克斯尔韦 (电磁)波立叶(1傅687 130)8

　　科文学化代表：的

　　数学与物理

　　义狭对论与相四时维。 广义空对相论与曼黎几何。 杨米-尔斯 场 –省陈身的维丛纤理论 高维 –低 维(四维最)难 Witent( 理物学家获得数)最学奖 霍金高理论物(学理)家参加2020 学家 数大会

　　希尔伯提特23出个数问学(题109)0报载：瑞典的一位女教助决了解1第6题问

　　61代数曲。和代线数曲面的拓问题 第二扑部分 论讨dy/dx =Y/X 极的环的最大数限。目其 中Y, 分别是xXy 的n,次项多式希伯特尔 86211-934苏联和国中的数学家究研 n过= 的2情形

　　省陈身华和庚罗清华(“子”双星座 ) E. Cratn a省陈身 文吴俊创立大范 围分微何几代 哈华 罗庚 景润陈、元王… 中…的国解数析学论派两唯一人照片 172。 北京

　　9

　　如华罗果庚到汉堡阿丁随E( .Aritn)习学代 数数论，中国 的数历史将要改学了？

　　写

　　希伯特尔形的式主思潮义形式义和主逻辑主、直觉主义义展论战。 形 式开义主思占据潮主地导位 。 形 主式。义。 两 点之间且有只一有直线，条也 可说以两成啤酒个之瓶有间张一子。 桌学数=式形 ，内容无关要紧 数学公理体是系。一 切数 命学都题可以式形判定地真 伪

　　德尔哥说 不：(。9311)数：学思 的体想操 ？数学= 理；数学公= 辑逻？

　　第

　　高峰： 第四次世界大二改造数学战维纳科、莫哥罗：夫火 炮动控自制 筹学运产于生战 场 原子 弹爆。冯炸.诺曼的数依参学. 与美国国的家用数应小组(A学MP. )朗.柯水下 爆。破 轰机的流体炸力计算学 密码 破. 图灵机的诞译 生 电子计 算产机生 (国中数仍然学留在纯粹数停学， 没介有反 法西斯战入争努的力

　　战: 1后984年的数地学 图

　　198: 美4国仙农发《表息的数学信理论》 148:9纳发维《控表论》制。息信、制是控数学吗？ 1489:v o

　　nNeuan m计算方案形机成

　　国缺乏这样中数的偶学

　　像信息时代的学数术技

　　.冯依曼组诺织“数字天气报预(1”59)0线 性划规发大.展 算机计实控时制 调度.. 卡曼尔波. 航天滤技术 C扫描.T拉 变东.换计 算机拟模术技 军.模事拟.计 机算软件的 学数技 金融数术学术技(国中没有上原创以数的技学，术紧)跟

　　国中学最高科奖 文俊吴 机：器明证王 ：选 印刷革 命数压据

　　缩

　　景陈：润 190年8的代学数雄英

　　1970: 走年布出巴基尔的环光

　　尔巴基的结布主义构冲破“ 函论数”王国统的 治用“代数结构序、构、结扑结构”拓一数统。 学集合、测度论、论李群、抽论象代数、数拓 扑、代泛函分…析 融…为体一 不。包括微分几能何数、、概论率统计计算数 学、、离散学…数 …9150。年文吴俊在科学《通报介》绍布巴尔基 。 无人彩喝 。9701。 年轻年学家走数布出巴尔的基影 1响98年0。 中国大规介模布绍尔基巴学。派

　　20世核纪心学数速飞发展

　　从局到部体整 拓扑( )从交到换非换 (交算子数代 K。论理 从)线性到线非性( 混、分沌维 从低)维到高维无限、 维随数学大机展发

　　第二分 部

　　争取国数学在世界中的 上平与等独

　　二立十世数学简史纪

　　数学中心 转的移：巴 -黎------格丁根 -- ----普林斯顿-190 0( 190-0193)3 1(93 3--)莫 科斯学.大 Setkovl学数研所 剑桥究学大一三院 巴学Po黎ncarei 究所研波恩M a-Plaxkn究所 加拿研大Filed数学s研所究

　　黑的1933年色

　　特希勒台上. 排挤害迫太犹人 .4月,令命切一犹太籍 教的立授即离校开园. 因爱坦;斯 H外耳( We.yl ,妻 子是犹太)人;冯. 依诺; 曼朗柯 诺特;;哥德尔 波利亚; ;兰道 世;一流界的尖的顶数家学了到美国 那时.美 正在国济危机经中. 普之林斯高顿级究研的所成.立 名6教: 爱 授因坦; 冯. 斯诺依; 外曼; 耳eVben,lAl exndea,rMo rse.

　　国中代现数学的难历艰程

　　同馆文设天文算中馆学争论的(1。80) 6,y,x,zw 代 取天人元地的历程 901年， 2南江场某举子考在卷试写上阿拉伯数 字， 主官黄漱考：“兰以夷变， 夏心其 不可问殊” 逐。考出场。184 7闳容学带到生美留学, 没人数学.学1 682日本年派人中国来考,察 回带代微积拾,级 为本唯日一微积的分读本 .198年8,中 向日本国量大派遣留学 生.1 9纪世,中到国欧美学学的数竟一人.无

　　中国学的发数 展

　　第个一学数博士胡明。 复佛大哈 (学1917)1 92年0数代系学 ：学水士平1 93年0数代系： 硕士水平 1学904代年 ：实际能上培够博士 养189年代： 大陆0式授正第予一批数学博 士

　　界世名的华著人学数 家

　　省陈身(籍)整美体分微何的奠基几人)获 尔沃奖夫(身成终就) 。成桐丘美籍(获费尔兹)奖(40岁以) 下罗庚华1(19-01958)美科国学院外院士籍 数论。,多 复分析 ，代。数 冯康。 计数算学。有 限元法创方人之一始 宝录许1(19-1097)0理数计学统创始之人一 轻的华年人学家正数迅速发在中： 田展刚、夏志宏、 伟平…张…

　　202年国0际学数家会大

　　霍来了金 ！什来纳！了中国 数取得世界瞩目的成学就 。局：格俄美继续先； 领西紧随其后欧 本日正在迎赶头； 上国中一个是未数。知

　　省陈猜想身 “1世2数学大纪国”1(98)。 数8大国的含义：“学独立在等的基平 上础世界与国的数各家学进交行流！”

　　数 上还学没有真的正独！立离皇冠上开明的珠还远

　　很

　　费

　　兹尔奖章(只 予不授过4超岁数0学)家

　　法拉格(法国)沃沃斯基( 俄-) 他们美出都于生19 6年，6 年今63岁 大。学业后， 毕到得植扶Lan攻lagngsd猜 想-- 顶的尖学数课。 田题刚上(199届)8得获名提， 没但 获有得。他是京南学大学士北、大京学 士、硕丘随桐成美在读国博士。在是现麻 理州学工(院IM)T教授

　　考试文的影化响 竞赛是在不场上考!奥林匹克数学赛金竞 =牌数 家？学？?好 胜好奇与一。字之差。 某学副教务大长说：优“学秀生是 ‘高不考状元’ ,是在而00分6以上0的. 618。处 果你如孩子是的状，元当心他 /她太注重 枝末节细 ，有大前没途

　　。21国参加的国

　　数际学育调教查(I AEP)1899。 3岁1学成生绩

　　中大国 中国陆湾台 国 韩士瑞苏 联8 03 7737 107

　　法国 英 国国 巴西 莫美桑克比4661 55 3 782

　　中国

　　数水学怎平么样?

　　新社：华中现在国十分陈有身省华罗、庚样那的大数学家？ 国离际平多水？ 远吴俊：“不文说”好，“好说”不 成桐丘：还“差很远” 中得只是潜国在的数大国！学 多人以许为中“离皇国冠上珠明仅一步遥” 大之特错错！!“ 法乎取， 仅得乎其上”中 ，取“法乎中，则得 其下乎！矣

　　”三第分部 ：些一学文化的理数问题论

　　1。第三次学数机？绝危对主的义破灭。 2。检验数真理学的标。纯准数粹学为 么会什有用 3? 数。学的认美。 4。识 推数测学否允许存在？是5。 中国考据派对数学学影的。响(

　　)1学数对绝主的破灭义

　　数结学绝对正确是做论到的，不但 并是没 到达有危“”机程度。的选择 理公是否准许用使 …? ………

　　无限多盘果， 每盘糖

　　各取颗一，构成 一个盘拼

　　拼盘里。元素的确定不， 没指出“有选择”的是 么糖！ 什

　　选择公用可理得出巴以赫怪拿(1论239) “个球， 一可以割为分个两与球全原等的球”。 是于倾向于准不选用择公理但是选 择理十分公有用， 例有如界的限点无列必可选 出敛子列收。 如图 究：竟用用？ 没有绝不对正确 选择的。学数其和学他一样科，有 绝对没。

　　第三

　　次数学危机， 故作“惊人之是” 语

　　学在数日一里千发展， 地有没危。 数机和其他科学一学样 ，真都是理对的相，不 存绝对在正确。但是 ，数 学是想材料思，按照逻 展 辑开， 在可感以到受的常日数学题中问 数，学然仍其比“经验科他”,学更加准 确 。数大学厦的层底有缝裂 ，是但会不覆倾倒 。

　　塌

　　()2检数验真学的标准是实理吗践?

　　逻辑 正是确学数文论表发的本基求要 。必通不实过践验检， 论一结正确定 。学数论结好有坏分。之有只“”好学 数值得发才。表陈省身的 好数学子例： 程方。 形流 。球上用一面个角坐直系是标够 不，的 纬线经在北相交，极 标和坐点不 一能一应。对

　　省身陈不大好的数：的例学子

　　拿仑定理：破一个角三， 在三边形上 各作个正一三形，角其 中心起联也来一 个正三角形是 。奥匹克竞林的题目赛， 都不是好数的。 冯学依曼诺说 数学：象沙在漠的中流，河 如在果一些枝节上停过留多， 就干涸有 危险。

　　悬的1赏0万0美的数学圆目题

　　P=NP ?黎 曼想猜。庞加 莱猜想 Hoge猜d Bi想cr等h 猜 N想ivea –Storek s程方3维光组解的滑存 在杨振宁Mi-lsl场质量隙间存在的

　　学需要数践检实！验

　　有效：性息信论控、论制、计机方案设算计。 诺冯依放曼弃粹数学纯究，研投身应 用数学 刻深：性揭示观世界客规律的！黎几何曼 ，杨-Mlisl场，省陈身-西蒙理论斯 美学值价公认：科学价的。 费值马理定证 的明。 创需要时间的检验新 。康托集合的论 模糊。数 学价值的(数的里学程？碑)

　　。数3美学通的俗认识(一)

　　观的壮描：述 效有手的。段和谐的规律。 特的奇证明 。绚的丽化。变 艺的术图案。三体问题王 的选数据缩。压公式 ieπ + 1 = 0.素 无限数多的证明 。分形演示 sherE 的画数

　　学画 俄罗斯数学家 佛科作明

　　品随过机程

　　爱舍儿 画的

　　另的世外界

　　。 3学数的通美俗识(二认 )

　　1 美。观 1。/2+ /3 1 2=/5 ? (和谐的 天性)( a2) 2。 美b。 (a好b)+ = a22 +2 b次二方求程根式公 丑，但陋美好。3。美 。妙 条三高于交点。妙一 ！辅

　　助线，代 换， 形变 ，人的冲击对。4。完 。美数学的体系。 数 学发展， 的类人数的学求追

　　。4。

　　儒家文化与中国学数

　　数在学家儒学中说有没位。数学地 家受重 不视。 国中统传数缺学逻少论辑。思辨证理的精神， 性如古不腊。 儒家文化希是绎演。的 中传国统学数也演绎 是的只是。缺乏:形式辑的逻演！绎

　　中中国小学数课程学的逻要求远辑超西

　　宋明方后以的儒学再 面不原对问始题

　　孔 孟经 典熹朱注的疏 读书人的章

　　不可文摇动的理公必 遵循须定的理和推 不论过一做个练而已习

　　八文：股按朱 老熹夫的子标准 答做“学答” -- - 美案其名代 “贤立言”圣

　　[] 戴震(清172-2-1777)据 考派学对学的影响科

　　文狱使字读人回书“避原问始题 ”“故纸堆在”考中、据训， 重诂 据证、演绎， 重接近西方的辑推逻。理儒文化家-- 观宏的演绎系统上考 文据 化- -微上的演绎方观法

　　据学派考的位地

　　启超： “梁国中旧学，考 据、故、 词掌章三为大宗。 ”据列考第在一位。 清代术学特之色考据学。明清为代学一术走 是，的从 义理，反 训重诂，到独 考尊据 再到，兼义理的重道。路 末民初， 清西文中化屡有突冲， 但考据 文化和方西学科直相安无一事。梁

　　启谈超考据化文 自清代考学据200派年之练， 训为一成种遗 传。 国学我子头之脑趋渐冷于静慎 。密 此种精实为神学成科之立基要本素 我。国于形的对学科(理)数，渊 本远源。 用其遗上传极异之优科学脑头， 将来 可成为必全世界第等一科之学民国 ( 清代术概学)论

　　考据传 遗 科=学头

　　脑胡适与考

　　据(周龙昌：《东原戴哲与学胡的知识适主》。 汉义学研 究2卷1期1

　　1109, 年加庚款参考。 试觉做发学 问从要十三《注经疏开》始。留美 间，期 熟悉方西科的学时，同 完《诗言字成》解《汝篇尔《吾我》篇 《诸》子不出王于论》。官回国后继 整续理国故从《红楼事梦考》证以及 “国三”“水”等考证浒研究。 考据影子：“胆大设假 小，求心”。证

　　胡：适戴《东原学》(19哲22 )

　　中国旧有哲的学，有只清的代朴“学” 有确科精学。 这神个代是一时个考学昌明证的时代， 一个科学的时代是戴。是一个氏学科家， 他长于算，学 精于考。 据他治的学方法 精最密， 故用能这个代的科时精神学 到哲学去上 。的哲它是学学精神的哲学。 科《适胡存文》3集卷2

　　考据派与中国学统数学传

　　戴震修〈编库四全〉书，校订 九〈章术算〉 算〈经书〉十等。乾嘉考 据派学的另代表一物人是

　　钱大昕他。的弟 子有 锐李1(796- 1817) 汪 (17莱681-894 焦 )循17(6-48419 罗士)(琳1879181-7)他们努 使算力学从经学负数的地位解出来放

　　。训诂

　　数与学

　　阮元(761-1844)8 学大经师数学兼家。 畴〈传人〉 --中 国一部算第家传记学 善李兰1(11-8881)2。清末中 国学数 代的人物表：词“、章训之诂虽学皆涉猎， 然之好不终及算学。” 典数学为古乾嘉派所学重(视钱琮宝 近来)02年0间，“小学”、“算 ”是 学时同长的进。(章 炎)太考据与

　　代现学数

　　据学考奉派行复“主古义， ”张主西“中学源” 终于没有走。向现代数学 。考据必使须用逻辑 例如。要“考据綦即传 大山人八， 先证“八大山明人”就是个山“” , 而“山”个即“綦传” 。里这了用“是乙甲 ，是丙， 于乙甲是丙”是逻辑上的的“传递性”原理 。洪万(生、刘)钝 “代历者仅以训学当名诂。 学不知名学义殊 大而，经 训义小诂粗而。(”刘和鼎1918。4 2月日〈北9大京学刊日〉)“数

　　学= 辑”的逻文化渊源

　　数有两学侧面: 创个造考与逻辑证思明中 国法：数提能力学是基运本能力， 算空间想能力， 象辑逻维能思力(心核。)但是 ，“ 数不等于逻学辑。 ”辑是数学逻家以得持健保的卫生规则康 (。大数学H家外。耳)语 极言而之 ，觉我数得学和逻辑没什 么关有 (系本著日名数家学平邦彦)

　　小考据文

　　化对数的学正作反 用

　　中传国统文化对西数方学否包容是？ (郑毓信)考 据化将文学的数逻辑面进行层化同 成,为 中国代现数教学学核的思心想 .同样 ,考文据化演绎和的儒式家化,文 创新将 性的学数思维式进方过滤,行 有 没好吸收很溶入.

　　适度强调辑， 逻提数倡学创。

　　造。5推测 学能否允数存许在?

　　199年3美哈国大佛学教A. 授afJfe 和吉尼亚弗 大教授学 .QAunn i表发章文 。物学理分的：理论工理学家提物出想猜和测，推 实验物学家理进验证。行 数学却必家须提出猜把想和行进明证全部担。 承将来数学是的否可以由些一数家学行猜进， 推想测， 讨。探 另一些外数学家行证明进？

　　方各反映

　　英国皇家学会长M会 .tuiyAh 示赞同表。他 的老师 提“几出何纲大，” 证不明够 ，由补他 。正 国代数学家 S Mac美aLn e对反， 证万明岁 分！形论的创立理 B. Ma者nedlboir t,说现 在 学的清规数律太多，戒 警察多。太庞 莱很多原加的思想， 证创明严密。如不 果警“”察禁，止 数的学损太失了 庞卡莱受毕卡大P(iarcd)的 约制 没，在巴黎大 学上过有学课数，程因为不严格 。突

　　理论变创立者.RThom

　　严格是一性个拉名丁， 词人让想“僵尸起。 数”学为三分类：(1) 婴为儿标。 记正成长在许修允。 (改) 2以十架为标字记 已经证明，。 永远不 朽 。3( 以教)堂标记为。 高由教级组成， 士门评专论数论文学该属应那一类， 价值于如何。

　　伯驹姜的讲 话1959 .

　　“数往学是最往后胜的取宝。法 数学得用，好你就 赢 了 ”数学在2“0世纪半下有叶大的发展， 很中其最大 发的是应用。 展第二次世界跟战以大不一前样 现，在到在处数用学，更 多的地在试图用方学数 。因，此数学 系数、专业起学么什用作 ？如果还是培养数 学家数学、授， 就教业情况的摆哪儿在 ，社的需求会不是很大量。数 系是毕业生，学相 当多的人 ，至甚一半的多， 人要到其行业里他起去 作用。”(自引《中数国学会讯通》9961第年九期)

　　国前际数家学联主盟 席Mumorf答记者d问1 995

　　一个重的问要题是复纯恢粹学家和数应用 数家之间学思想交流。的 19世纪在 你，可以看 到大数多数学家都是一身的二任的。 例傅如叶立Fo(ruei)发现r和研究级，数 就受了应是的用刺。但激后以发了生隔， 分其在美尤国 。…. 科学的对资,投 将 不于至简地单化多钱很搞纯粹去学研数究,而 是相反, 应当引向一共同目标, 个得 纯使粹数研学究员人在能应中受到启用,发运用他 的们理思论维更效地有解决实际 问题”(引自 国数学中会讯19通69年第 3期)第

　　部四分

　　文数化学案的例案

　　例 丘1桐谈成史记》《

　　华人一的费唯兹奖尔章获者。 8得月2日早上中央电0视台东时空的方“方东 之子”栏目(方 采访静)“ 我《读史》记象欣赏剧，歌 幕幕一展 地开” 。彩乐华如章高山仰止： 景，景行止。 。历是史宏观。 学的历习会使史用人观宏点观考 事物。 我察出提数学的法想往和往人的不别 样，一就 是力于得《史》记

　　2。数学例文学：与称对与仗 对

　　称对是换变后以不的变性质x 2+y2 是 对多称式 ( 项x- -,yy --x) 明松间月，照 清泉石流。上 上变联下成：联但是许是多不的变明月 - - 清 泉然自景不变物 -明》-清形容词);( -月-》 泉名词( 变中)不有变。道理 一是的样！

　　例 3学与数言语

　　不管三七十二一(”乘法诀口) “下三二除就解决五”(算了盘口)诀。“万无一失”, 中国在语言比里喻有“绝对把 握。” 是， 但句成语可这联以系小“概率事 ”进行思考。件“十万一有”在失天器的航 件零中也不允许是。的 指数“爆”、炸直“上升”线等已经进入我 们等日常的语。言 们它含义的与可事物的杂 性复相联(计系

　　算复杂问题性)

　　,4 例数学伦理和

　　。 西学者作过方十分认的尝真。试 个例一是，子两个人每 有人 1 ,00 0元 从其，一中个人里拿那00元5另给外个人。一 这行一动所生产的快比乐痛少苦 因， 为得到人的财富只增的加 了13 / ,失而 者去的损是1/失2。[]

　　例75数。学和常生日活

　　“方程”的思想, 穿了说不是“过拉系关 “为了认 “未识数知先生，” 须必已请知数“先生为媒 介，找到 种关一， 系据 根关系就认识“未能知数”先了生 朴素。的思想 正是，种一文化象。现

　　例6张恭院庆士问的题

　　一条毛平巾着， 摊东有西向、南北、 向以上及下共组6个方向， 那么三是否可能作 个一运动使这得组三的个两方向 恰好调换置？位案是答可能不一个。右 手系”“论无样怎“旋转平移、翻折、 都”不可能成变左手系“”。 学里中那有 多的么立体何难题，几却 很触少这样及 简又有巨单数大内学的涵观与思考。 察林匹克数奥竞赛也学处理此类问不。

　　题

　　例史7中教授树问的题

　　有一赌笔，金甲 乙两、人竞， 输赢赌的概率 为1/2, 以先各累达计到盘5胜者 获利这得笔金。赌进在行过程，中 故因 突终然止。 时， 甲赢了此4, 局乙了赢 局。3 问笔这金该赌如何配分合才？理4/7和 3 /7比较 理合

　　?

　　麻将为

　　么什不产生能概论？ 率

　　答案是假：再进行设一局若甲胜，(概 1率/2可得)部全的1份赌。 金乙若 (胜率也是概/1),2则大家各胜4局 ，应 平当分 ，得甲1/2 。之， 甲总得可( /21) 1+ (1/2) ( /2) = 3/14 我。思考的是 ，中是一国个乏概率 缺考的国思。传统家文中化缺乏随机学 的数素因， 众中应公当快补尽上一这课。

　　例8)((兰荷)离学甲校0公1,里乙 离甲公里3 问乙离，学校公几里

　　训练学生？表示的能力。甲、乙 学校在、一条直线上 ？有说。校没 乙 甲乙

　　坐标。‘数参。数。复空间余弦 理。定

　　(例)公说9有公， 婆说理婆有理。香某港厂 绩业年 股份红利 东工资额总

　　9 50万 01万9 7。51万1 2。万5200%92 10万 51万5 110

　　1550%100 % 9091 29

　　0991

　　92老板所画

　　工主会所席画

　　例10(正)角形的三例案

　　美国北三卡个分校 位，于正三角形三的个 点顶要建。设内网校 。尔电话贝公收费司准标两：边 2。长在北 三校的中心(卡漠荒) 要求，装电话 因为。按收标准为费 1/3 “2连正接三角形三点的方， 法多有种？距离 少少？多中 国青数年学家丁堵证柱 明231/: 是极限。2

　　(例1)门1的车后

　　12

　　3

　　任一门选( 如 例 1号);主 人打持开无车的门3(号 )是否 换2 号？要 应

　　该换。 为车因1在门的号率是概13/ 而，在23号 门的概、是2/率。3 既3然号无车门在，号2门的概是率 23。/考虑 001门的情形扇， 主当人打持开31-0扇0无的车 ， 你是否门觉得车在号门2的概很率大很大呢

　　?(例案12)联 苏的道空间想象题 一

　　四维空间位方体的单点数.棱顶, 面数, 数三 面维, 四数维数?体 解顶点：数：2 31=。6棱数 (1:6 4)/ = 223二维面 ：(16C 42)4/= 24三 面维 ：1(6C 3 4/)8= 8 四维面：1 一般地 ( 2+)n1= n 2 +2nn1- …+ 1+

　　(例

　　1)分苹3果问题(广推)

　　某A果园在了摘一堆苹，果把它 一的加半半给个一第 个门人看， 将剩下又的果苹的半加一半个第给二看 门个。 那时只剩下两人苹个了果。问原来 几个有苹？ 两果个子因 剩下：的果苹数，看门人个 思数：辨 看人比门我多个；一和A看人门苹之果等和于上 剩下的苹次果 1,2;,437,;815;,61; 3132;,366,4 .;..2 3;5,6;,1,12;12 ,24;3744,;895 ,96;…3 ,4 ;, 7;158,16 ; 3, 321 6;3,64;17,2 182一 半一个加？般加一个？两

　　(14)例X大名王上裂南京海 (路9199 )

　　溜球溜(52元只/).溜 蛋溜(1卷5/.包) 每蛋卷中包一张卡有片 ,红分白,,绿,黄五蓝种花 .色 齐集种5色卡片,花可 换以溜球溜只.一如5 种片卡投放的概为 率1,PP 2P3 P4P5, 獎中率為 P(, P21P3 4PP 5)x 5! 1 = PP2 P=3= P4 =P5 (1=5/ )时最大.(00.4)实 际色红仅为 /1010.文 报记汇披者露 H后 x,王名裂出大南路京

　　.1例 投票5数学 的

　　5种投票法:1. 简 多数单 2.最高 两选人一..3 .票赞成, 一一票定否. .4 成赞票法投 5. 排.序 打法.分 6. 运奥票投法 力指实 标971加2大选举 拿自由1(9);保守党01(70) 民新主党31(;)其(他7)1总 计26 45[;28,2412,4 ][512;,26626],[1,405,52,20,51]选举实力指 分析标

　　(案例61)数据误

　　导平均分班为67.分我 得到78分在上属班中 上平. 全水班30人 ,数学成绩5为个9分,022个

　　8 0分,一 7个分8及2以分和10.分算得 平数均 6.76. 778分者均分平以, 倒数第三上.

　　据友问卷校调查,19 42年耶大学毕业 生鲁的收入年为52111美圆. 9163美国年总大选统 ,话电查调登兰将 票高当, 结果罗斯选福胜.出

　　(例17)农(Sh仙anon)n究研信息 论

　　.信息一量烽 台.火 传送一个息信量lo g 22=1. 两个 烽台.火 .1 敌人来?2 .要否 给?补 种四情.况 log 4 =2. 2息信 是01 ,号串.符 二 概率和信.息:量“狗咬 ” 人人“ 咬狗. “”天今阳升太起” ,“今天日食”. 事件的概率(PE大, 传)送此件的信息事量H (E小. )(EH = )/1P (E?)H( ) = P(EE )olg2 (P)E

　　.案例18()农仙(的7,4码)

　　要把传送的01序-列编

　　组。 4个每信符号息(0 1或加)另上外3检个符验 ，成一个构7由个二进 位码组成数的息信， 块X1, X ,2X,X34, 5X, X 6,X 。 7中X其，3X ,5 X6,X 四7个二进数是要码 的信息,传 X1 , X , 24X等3个 是检符验. 检验符择选的方法是 X4 :要选使 a得 = X +4 5X+ X +6 X 为偶 数 X7 要选得使 2 = bX + X23 +X6 + 7X 偶为数

　　7,(4码) ()续

　　现, 假在如们我接收到组由7一个二进码组数的字成 母,串将它 代入上公式进行计算,以如 果,ba,c是偶都， 则数示表传送正确 ，4信息数码确定个误无。 果如算计 出 的ab,, 是奇c数 ，那就一定出了错。 7个码计算 数 a b, , c奇的，偶以发生可7种 况： 情 =a,1b =0, =0c 此时现在出b c, 的中X ,5X6 , 7X都正 确 此 因误出现错在X4 a= 。,0b=1 ,=c 同上0X,2 错 。么那能判断否里出错那？

　　哪一个是错码？

　　要增加一个设假：“送传的7数码中个多可至能出现个错误”。以一以 下=a 0记 a 为数，a偶 1=表 示a奇数， 余为同 现。在接收到用的

　　=0,a b0= ,c= 1同，X1上错。 a 1= ,b1,= =0 此时出c在现c 中的X1, 3 , X5 ,X 7 都对X ,a b,表 式示的共同中是X项6,故断 定6 X错 。=a1 ,b=0 c=, 1同上，断X5 定。 a错0, ==b,1 c 1 =同上，定断6X 。 a=错,1b 1,c=1= 为7个因数码只一个是错 有，的 只而X有7 在ab,,c的表示 式中都现，出 因此 定X断 错7。

　　(案例1

　　)9举选论(探悖学究习

　　/2多3数？1/ :3A 1;3: /BC /3:1C BA 2./ 3数多：B . A2个名额分0配 甲。 10 010)(;乙 0 (6)6;丙： 04(4)。 20。名1 30(013);.63 (6.3; 34()3.)4 2个1额名配。分 ：1甲03( 0.1815;) 乙636.61()5 丙，4 (335.0)

　　7

　　例8 拓扑学1- 同伦价等 周圆的同伦群： 数群 Z整球 的面伦同群： 0面环的伦群同 Z+Z:

　　1例9 算 法

　　乘除先后、加，从内到减外括去弧 。分加数要通减分分数。相除颠倒相即乘 算珠口诀是机器就法算。高 消去法斯是线性方程解组算法的迭 代算法计是机最适算的算法用之 算法语一言赋值语句、:循语环句、件条 句语

　　2例 0面积到测度

　　始原念概 集合函(数1正)性。m(规,ba ) b-= (a2有)可加限性3)(运不变性 零动测度 。线段的面 无限积可性加 ？可可加测列度 S。测- 度率概测度