自考线性代数第五章特征值与特征向量习题

第五章 特征值与特征向量

一、单项选择题 1

1．设矩阵A= 0

0 0

12001130

1

1 ，则A的线性无关的特征向量的个数是（ ） 1 3

A．1 B．2

C．3 D．4 2．设向量α=（4，-1，2，-2），则下列向量是单位向量的是（ ） A．C．

1

α 31α 9

B．D．

1α 5

1α 25

20

3．若2阶矩阵A相似于矩阵B= ，E为2阶单位矩阵，则与矩阵E-A相似的矩阵是

2 3

（ ）

10

A．

14 10 C．

24

10

B．

1 4 10 D．

2 4

4.下列矩阵是正交矩阵的是（ ） 0 10

0 10A.

00 1

101

1 110B. 2 011

cos

C.

sin sin

cos

D.

22022166

3 3

3 3

3

5．已知3阶矩阵A的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ）

A．A B．E A C． E A D．2E A 4 52

6.设矩阵A= 5 73 ，则以下向量中是A的特征向量的是（ ）

6 94

A.（1，1，1）T C.（1，1，0）T B.（1，1，3）T D.（1，0，-3）T

3 =

1 11

13 17.设矩阵A= 的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ

（ ）

111

A.4

B.5 C.6 D.7

8.设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（ ） A.AT B.A2 C.A-1

D.A*

9.设A为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A+2E |=( ) A.0 B.2 C.3

D.24

10.若A、B相似，则下列说法错误．．的是( ) A.A与B等价 B.A与B合同

C.| A |=| B |

D.A与B有相同特征值

11.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t)正交，则t=( ) A.-2 B.0 C.2 D.4

二、填空题

1．已知3阶方阵A的特征值为1，-3，9，则

1

3

A _________. 2．已知向量α=（1，2，-1）与向量β=（0，1，y）正交，则y=_________.

3.设2阶实对称矩阵A的特征值为1，2，它们对应的特征向量分别为 T1=(1，1),

2=(1，k)T，则数k=_____________________. 4.已知3阶矩阵A的特征值为0，-2，3，且矩阵B与A相似，则|B+E|=_________. 5.向量 (3,2,t,1), (t, 1,2,1)正交,则t __________

___。 6.若矩阵A= 10 04 与矩阵B= 3b

ax 相似，则x=_____________。

7．已知3阶矩阵A的特征值分别为1，2，3，则|E+A|=______. 8．已知向量α (3,k,2)T与β (1,1,k)T正交，则数k ______.

9.设n阶矩阵A有一个特征值3，则|-3E+A|=_________. 10.设向量α=（1，2，-2），β=（2，a，3），且α与β正交，则a=_________.

1

11.设n阶可逆矩阵A的一个特征值是-3，则矩阵 A2 必有一个特征值为_____________.

3

1

1 2 2

12.设矩阵A= 2x0 的特征值为4，1，-2，则数x=________________________.

200

a 1

13.已知A=

2 0 0 2

b0 是正交矩阵，则a+b=_______________________________。

01

1

14.设A为3阶方阵，特征值分别为-2，

1

，1，则| 5A-1 |=______________. 2

1

15.设α= 2 ，则A=ααT的非零特征值是_______________.

3

三、计算题

100

1．设矩阵A= 021 ，求可逆矩阵P，使P-1AP为对角矩阵.

012 201

2. 设矩阵B= 313 ，

405

（1）判定B是否可与对角矩阵相似，说明理由；

（2）若B可与对角矩阵相似，求对角矩阵 和可逆矩阵P，使P-1BP= 1 6 3

0 5 33.设矩阵A= ，求矩阵A的全部特征值和特征向量。

4 06

12 50 TT

,B 4．设矩阵A 43 2 1 ，存在 1 (1,2), 2 ( 1,1)，使得A 1 5 1,

A 2 2；存在 1 (3,1)T, 2 (0,1)T,使得B 1 5 1,B 2 2.试求可逆矩阵P，

使得P 1AP B.

32 2

-1

0 105.设矩阵A= ，求可逆方阵P，使PAP为对角矩阵. 42 3 2

6.设矩阵A= 0

0 1

P-1AP= 0

0

020

03a

0

a 的三个特征值分别为1，2，5，求正的常数a的值及可逆矩阵P，使 3

0 0 5

2 1 2

7.已知A= 5 a 3 的一个特征向量ξ=（1,1，-1）T，求a，b及ξ所对应的特征值，并

1 b 2

写出对应于这个特征值的全部特征向量.

四、证明题

1. 已知A是n阶矩阵，且满足方程A2+2A=0,证明A的特征值只能是0或-2.