导数与微分习题课

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导数与微分习题课

1．设f(x) x(x 1)(x 2) (x 100)，求f (0)。

2．设f(x) xx(x 2)，求f (x)。

3. 设 y 2|sinx|，求y 。

4. 设f(x)为可导函数，y f(sin2x) f(cos2x)，若令u cosx，证明：

5. 设y x ex，求其反函数的导数。 dydy sinx 0。 dxdu

dx1d2xy 6. 已知。，证明：2 3 dyydy(y)

7．设函数y y(x)由方程d2yy x(x 0,y 0)所确定，求2。 dxy

x t2 2t d2y8. 设由方程 2确定函数y y(x)，求。 2dx t y siny 1(0 1)

dy x 2t t9．设，求2dx y 5t 4ttt 0。

4x2 1(n)10．设y 2，求y。 x 1

11．设y arctanx，求y(n)(0)。

12. 设f(x)在x 2处连续，且limx 2f(x) 3，求f (2)。 x 2

f(sin2x cosx)13．若f(1) 0，且f (1)存在，求lim。 xx 0(e 1)tanx

14．设f(x)在x0点可导， n, n分别为趋于零的正数列，证明：

limn f(x0 n) f(x0 n) f (x0)。 n n

15. 设f(x)在( , )上有定义，且满足f(x y) f(x) f(y),f (0) 1，证明：f (x) f(x)。

x2en(x 1) ax b16．设f(x) lim，试确定常数 a , b 使 f (x) 处处可导，并求f (x)。 n en(x 1) 1

17.设x 0时g(x)有意义，且g (x)存在，问怎样选择a,b,c可使函数

ax2 bx c,x 0 在x 0处有二阶导数。 f(x) g(x),x 0

(a)f (b) 0，试证：在(a,b) 内至少存在18．设f(x)在[a,b]上连续，且f(a) f(b) 0，f

一点 c，使f(c) 0。

(a)f (b) 0，证明：在(a,b)内至少存在一点，使f ( ) 0。19．设f(x)在[a,b]上可导，且f

20．河水以 8米3/秒的流量流入水库中，水库的形状是长40000米，顶角为120的水槽，问当

水深20米时，水面每小时上升几米？

21. 某人走过一桥的速率为 4km/h，同时一船在此人下方以 8km/h 的速率驶过，此桥比船高

20米，求三分钟后人与船相离的速率。

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