导数与微分习题课
导数与微分习题课
1.设f(x) x(x 1)(x 2) (x 100),求f (0)。
2.设f(x) xx(x 2),求f (x)。
3. 设 y 2|sinx|,求y 。
4. 设f(x)为可导函数,y f(sin2x) f(cos2x),若令u cosx,证明:
5. 设y x ex,求其反函数的导数。 dydy sinx 0。 dxdu
dx1d2xy 6. 已知。 ,证明:2 3 dyydy(y)
7.设函数y y(x)由方程d2yy x(x 0,y 0)所确定,求2。 dxy
x t2 2t d2y8. 设由方程 2确定函数y y(x),求。 2dx t y siny 1(0 1)
dy x 2t t9.设 ,求2dx y 5t 4ttt 0。
4x2 1(n)10.设y 2,求y。 x 1
11.设y arctanx,求y(n)(0)。
12. 设f(x)在x 2处连续,且limx 2f(x) 3,求f (2)。 x 2
f(sin2x cosx)13.若f(1) 0,且f (1)存在,求lim。 xx 0(e 1)tanx
14.设f(x)在x0点可导, n, n分别为趋于零的正数列,证明:
limn f(x0 n) f(x0 n) f (x0)。 n n
15. 设f(x)在( , )上有定义,且满足f(x y) f(x) f(y),f (0) 1,证明:f (x) f(x)。
x2en(x 1) ax b16.设f(x) lim,试确定常数 a , b 使 f (x) 处处可导,并求f (x)。 n en(x 1) 1
17.设x 0时g(x)有意义,且g (x)存在,问怎样选择a,b,c可使函数
ax2 bx c,x 0 在x 0处有二阶导数。 f(x) g(x),x 0
(a)f (b) 0,试证:在(a,b) 内至少存在18.设f(x)在[a,b]上连续,且f(a) f(b) 0,f
一点 c,使f(c) 0。
(a)f (b) 0,证明:在(a,b)内至少存在一点 ,使f ( ) 0。19.设f(x)在[a,b]上可导,且f
20.河水以 8米3/秒 的流量流入水库中,水库的形状是长40000米,顶角为120的水槽,问当
水深20米时,水面每小时上升几米?
21. 某人走过一桥的速率为 4km/h,同时一船在此人下方以 8km/h 的速率驶过,此桥比船高
20米,求三分钟后人与船相离的速率。
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