运筹学2Word

　　二、性规划线与目规划 第标 1章 2第章 第 章3 第 4

　　线性规章与划纯单形法 偶理论与灵敏对分度 运输问题 析标目规划1

　　第1

　　线性规划章单纯与法形第 1 节 第 2 节 3 节第 第 4 节 第 5节 第 6 节

　　性线规问题及其划学模型 数性规线划问的几何题义 单意纯法形 纯单形的计法步骤 算纯单形的进一法步讨 应论举例用

　　2第1节

　　第1节线性规划问题其数及学模型线性规是运划筹的一学重要个支分。线性规划理 论上比在成较熟在实，中用应用日的广泛益与深入。别 是在特子计电机算处理能千成万上个束条约和件决策量 的变性线划规题之问后线，性划的规适用域更为广泛了领。从解 技决术问的题最优设化到计业、工业、商业农、交 通运业输、事、经军济划和管理决计等领域都策以可 发作用。它挥是现已代科学管理重的要段之手。解一线性 规划题的问方法多种有，以下仅绍介单形纯法

　　。

　　2. 几2定个理

　　理定 2线性划规题问基的可解X对应于可行域D的 行顶。点证： 失不一性，假设基般可解 行X 的前 m分量个正。为故 Px j 1j

　　mj

　　b

　　( .1)8现两步来分讨，论分别用反证。法

　　4

　　4

　　2. 几2定理(1)个 X不若是可基解行，它则一定不可行域是D顶点。的据引理根，1X不是若可行基，则其解正量分对应所的数系列向量P, 1P2…,,Pm线性关，相存即在一组全为零的不α数i,=1,2i…,,m,得使

　　α1P+α1P2+…+αm2Pm0=(-19)用个一数0乘(μ-19式)再别与分1(-8式)相加和减，相得 (1 xαμ)1P1+x(2 μ2)P2α++(…xm μαm)P =b mx1(+α1μ)1P+(x2μ+2)αP2…+(+xm+αmμ)m=Pb令X1=x[

　　1 μα1,… x, m αμm, ,0 ,…0 ]X;2[x=+μ11,α…,x m μαm, 0+, , 0]… μ充分;小时X,10,X 0.5X1+=.50X,2所 以不X是可行D的域点顶45

　　。2

　　.2几 定理个()若X2不可是行域D的顶，点则一定它不是可行基。解因X 是可行不域D顶点的，故可在域行中可D到找不同两点 X的()1(=1(1),x2x1(,),…x(n))1 XT2()(x=1(2,)x(22,…,)nx()2)T使得

　　XαX=(1)(+ α) 1X()2 ,

　　0α1设X 是基可解，行应对的量向组P1 …mP线性独立，故当 j m 时有， j=xx(1j)xj=()=02由。X(于)1X(,)是2可行的两点域，而满足因 j 1

　　mPj x j1 b与m 1

　　j P x bj 2j j 1

　　m

　　两将相式减，得 P x x 0 j2 j 146j

　　X(1因)≠(2)X所以上式中，的系数全不为，故零量向P1,P组2…,P,m

　　性线关，与相设假盾矛，X即是不可行解基。

　　2

　　2.几 定理个

　　引理2 若K是 有界凸，集 则任一何X点∈可表示为K的 K顶的点凸合组。本引理证的明略 从，以用 下子说明例本理的引结论。

　　例 5X设是角三形中任一 点，意(X),1X(2和X(3))是角三 形三个的点顶试用三，顶 点个的坐标示X(见表图-1)8

　　图-1847

　　2.

　　几2个理定解：任选顶一点(X2),做条一线连XX(2,并延长)于X交(1、X)3(连接线上) 点X一′。为因X是X′1(、)X3(连线上)点，一故用可X1(、)X(3线)组合性表 示为 ′=XαX(1+)(1α X(3)) 10 因X是又′与XX(2)线连上一个点，的故 =Xλ′+(1 X λ)X ()2 将X的表′达式入代上得式到X =[λX(α1+)(1α) X(3)]+(1 λX()2 =)λX(α)+1λ( 1 )αX(3)+1 λ()X(2) 令 μ1=α,λμ2(=1 λ )μ3=λ,1( α) 得，到 Xμ=1X1(+)2μX()2+μ3(3)X iμi=1∑,0 μ148

　　2

　　2.几 个理定 定理3 若行可域界，有则线性规问划的题目标数函 一定可在以其行域可顶点上的达最到优。 证 设X(1:) X,2)(,,X(k…)是可域行顶点的若，(X)0不是顶 ，点目且标数函X在()处达到0最z*=CX(优0(标准)型 是zm=xa )。z X因(0不)是顶点，以它所可用以D的点线性顶表为X示 0

　　i 1

　　k xii ,i i ,0

　　i

　　k1

　　i1

　　入目标函数得代CX 0 C

　　i 1 k i X i

　　i

　　1k i CX i 49

　　2.2 几个理定在有所顶点中的然必能找到某个一顶X(m),使点XC()m是所有 X(iC)中最者。大且并将X()代m(替-110)中式的有所(iX,得到)

　　1ik

　　i CX i i 1 k

　　iCX m CX m由此到 得CX(0)C≤(X) 根据假mC设X()0最是大值所，以只有能C X()0=XCm()即目标 函在顶点数X(m处也)达最到大。

　　5值0

　　2.

　　几个2定理时有，目标数可能在多个函顶处达到点最大，这在时些这顶点的 组合上也凸到达大值，这最线性时规问划有题无限多 最优个。 假解设 1 , X 2 ,

　　, X k X

　　目标是数函达到大最的顶点，值则这对顶点些的组合，凸有 X i1k

　　i , 0 i X ,i ii X

　　i

　　1ki

　　1 C C

　　Xi 1k

　　i 1

　　k i CX5i1

　　2.2几 定理个设

　　: i m ,i 1, 2, , kCX 于： 是 C X

　　mmi i 1 k

　　另外,若行可为域无界，可则能最优解无也可，能最优解有 若，有优解，最也必定某顶在点上到得5。2

　　本结论基 线性规问划题的所有行可解构的集合成凸是集也可能，无为 域界，们它有限个顶有点线性规划问，题的个基每可行解 应可对域的一行个顶点 。 若线性规划问题最有优解，必某在顶上得到点。然虽顶数点目 有限是的，若采用“枚举”找所法有基可行，解然后一一 较，最比必然终能到找优最。解当n,m但大时，较这办种是 法不行的，通以要继续讨论所如何效寻找最有优解的方。本法课 程主将介绍单纯形法要

　　。5

　　3第

　　3 单纯形节 法

　　3.1 举 例3. 2初始基行可解的定 3确3 .优性检最验解的与判断3. 4基变换3 . 5迭(代旋运算)转

　　5

　　单4形法纯解线性规划的求路思一般性线划问规题具有性方线组的变程数大于 方程个量，这数时不有的解。但定以从线性方程组可中 找一个个的单纯出形每一，个纯形可以单得求组一， 解后然判再该断解使标目数值是函增还是大变，决小定 下步选一的单纯形。这就是迭择，直代目到标函实数 现最大或值小最值为止这样，问。就题得到最了优，解 举一先来说例。明5

　　6第节应用 例举

　　1-表41表明这原材料些应供数量限的额。入到加品产、A 、B的D原料材总量C天每超过10不0g,k的P量不总超过10 0kgH,量不超过总0k6。

　　表1g-41原料名材称C P H

　　每最多天应量(供kg) 价单/元/k(g )01 05 106 20560 3

　　145

　　9

　　6节 应第用例 举由此得束约件 条CA+C+DCB≤10 A0+PB+DPP≤001 A+BH+DHH≤0 6约束在条件共有中9 个变量，为计算 叙和述便方， 分别用1,x,x…表示。9令x =1A,c x=Ap,2x 3=AH ,4xBC= x5=B,, xP6BH=,x7= D,C x8DP,= x=9D.H10

　　5

　　第节6应用 举例 约束条件可表示为1:1 1 x x 0 2 1 2 2 2 x 3 1 x 3 x 1 x 0 4 412 4 33 11 x4 5 xx 6 0 4 4 4 11 1 x x x 06 4 52 2 2 x1 x4 x7 100 x2 x5 8x 100 x3 x 69x 06 x ,1 ,x 9

　　0151

　　第节6应 举例用

　　目函数标 目的是利使最润大，即品价格产减去原材料的格为价大。最产 品格价：为5(x0+x12x+)——3产A 3品5(4+xx5x6+ )——产品 B25(7xx++89) —x—产品D 材原价格料为65:x1(x+4+7)x——原料材C 5(x2+2x+5x)8—— 原 料P 35材(3+x6+x9x)— —原

　　材料

　　H

　　了为得初始解，在到约束条中件加松弛变量x10入x16~ 得到数学模型，1:52

　　第6节 用举应例 例1的1性规线模型划目函标 m数xaz 511 x 2 x25 15 3x 30x 4 10 x5 0x7 4 1x9 0 x01 0 x1 1x1 2 1x 3 x41 1x 5 16 x 约 束条 1件1 1 x x 10 x 20 2 122 x3 1 x 3x 1 x x 11 0 41 4 2 4 33 1 1 x 4x x56 x21 0 4 44 11 1 x 4 x 5 6x 1x 30 2 22 x 1 x4 7x 1x4 10 0x2 x 5x 8x1 510 0 3x x6 x9 x1 6 6 0 153 x 1 , , x 9, x10 , , x18 0第

　　节 6用举应例 最优解

　　用单形法计纯，经过算次迭四，得代优解为最：x 1100=x2=,0,x3=50 这表5:示需要原料用为C01k0,g为5Pkg,0为50Hkg 构成产，A。 即品天每生产产只 A 品为2 0kg ,分0别需要用料原C 100k为，Pg50kg,H为为50kg 从最终计算表中得到。,利总润是=z500/天。元145

　　第

　　6节应 举用例

　　12例 生产与库存优化的安问排题工某厂生五种产品产(=1i,,…5,上半)各月年对每种产品最的大场市需求 为量 dji(i1,…,=5;=1j,…6,) 已知。每件品产单的售价件 S为 元，生产i每件产 品需要工所时为a,i单件本为C成i;元该厂上半年工月正各常生 工时为产rj(j1,=…6,,)各月内许允的最加班大时为rj工′;iC′为加班 单成本。又件月每产生各种的产如品当销售月不，完可库以。存存费 库为Hi用( /件元月 ) 。设1假月 初有所产品的库存为零要求6 ,底月产 各库品量存分别k为i件现要。求该工为厂制定一生产计个划在尽可， 利能生产能力的用条件，获取最大下利。润15

　　5第6节

　　用应举例解：设ixjxi和j′分别该为工厂i第种品的第j产月个正常时

　　间和在班加时内间的产量生；yiji为种产品第在j的月销量售w,ij为i第产品种第j末月的存量。库根据题意，用可下模 以型述描

　　:() 1种各品产每的月生量不能产超允许的生产能力，过表示：为

　　ax i 1 i 1 55

　　i i

　　j ,

　　r j 1 , ,6 j, 1,6165iaxi' r j' ,

　　第6节

　　应 用例(举2)各种 品每产销售量不超月过市最场大需量求y i ≤dijj(i=1 ,,…5;j1,=…6,) (3) 月末每库存量等上月末于存库加量该月上量减掉产月的 当售销 量' ij i ,j 1 x ij x j iyjii 1 ,5,;j 1, , 其中 6 0i 0, 6i k i(4)满足各 变的非量约束 负ijx≥,0xi j≥′0, ijy0≥,(i= 1…,,;5j=,1…6,)w ij0≥i=1,…,5;j=(1,…,5

　　1)57第

　　节 应用举6例(5)该工厂 半年总上盈最大利可表示为：

　　maxz

　　i 1 j 1

　　5

　　'6[ Si yij C xiij i'Cx ji] H i i 1j 1

　　5

　　6

　　ij

　　581

　　第节6 用举例应例1 3续投资连题问

　　某部门在后五年今内考给下列项虑目资投，已：知 目项，从第A一年第到四每年年初需要投资，并于次年年末回本利收 15%1; 项B,目三年第需要投初资到，第五末年回收本能1利52,%但规定 大最资额不投超过4元； 项万目，C二第年初需要资投到第五，年末回能收利本10%4但规定， 大投最额资不过超3万；元 项目D,五内年年每初购可买公，债当年于归末，还加并利6%息。该 门部现资金有01元，万问它如应确定给这些何目项年每的投资额 ，到使五年末第拥的资金有的利总本为额大最?

　　195