工程数学作业2答案

工程数学作业（第二次）(满分100分)

（一）单项选择题(每小题2分，共16分)

x1 2x2 4x3 1 x1 为（C ）．

x2 x3 0的解 x ⒈用消元法得 2 x3 2 x3

A. [1,0, 2] B. [ 7,2, 2] C. [ 11,2, 2] D. [ 11, 2, 2]

x1 2x2 3x3 2

⒉线性方程组 x1 x3 6（B ）．

3x 3x 4

23

A. 有无穷多解 B. 有唯一解 C. 无解 D. 只有零解

1 0 0 1 3

⒊向量组 0 , 1 , 0 , 2 , 0 的秩为（ A）．

0 0 1 1 4

A. 3 B. 2 C. 4 D. 5

1 0 1 1

1 0 0 1

⒋设向量组为 1 , 2 , 3 , 4 ，则（B ）是极大无关组．

0 1 1 1 010 1

A. 1, 2 B. 1, 2, 3 C. 1, 2, 4 D. 1

⒌A与分别代表一个线性方程组的系数矩阵和增广矩阵，若这个方程组无解，则（D）．A A. 秩(A) 秩() B. 秩(A) 秩() C. 秩(A) 秩() D. 秩(A) 秩() 1 ⒍若某个线性方程组相应的齐次线性方程组只有零解，则该线性方程组（A ）． A. 可能无解 B. 有唯一解 C. 有无穷多解 D. 无解 ⒎以下结论正确的是（D ）．

A. 方程个数小于未知量个数的线性方程组一定有解 B. 方程个数等于未知量个数的线性方程组一定有唯一解 C. 方程个数大于未知量个数的线性方程组一定有无穷多解 D. 齐次线性方程组一定有解

⒏若向量组 1, 2, , s线性相关，则向量组内（A）可被该向量组内其余向量线性表出． A. 至少有一个向量 B. 没有一个向量 C. 至多有一个向量 D. 任何一个向量

9．设A，Ｂ为n阶矩阵， 既是Ａ又是Ｂ的特征值，x既是Ａ又是Ｂ的属于 的特征向量，则结论（D）成立． Ａ． 是AB的特征值 Ｂ． 是A+B的特征值

Ｃ． 是A－B的特征值 Ｄ．x是A+B的属于 的特征向量

10．设Ａ，Ｂ，Ｐ为n阶矩阵，若等式（Ｃ ）成立，则称Ａ和Ｂ相似． Ａ．AB BA Ｂ．(AB) AB Ｃ．PAP 1 B Ｄ．PAP B （二）填空题(每小题2分，共16分) ⒈当 时，齐次线性方程组

⒊向量组 1,2,3 , 1,2,0 , 1,0,0 , 0,0,0 的秩是．

⒉向量组 1 0,0,0, 2 1,1,1线性．

x1 x2 0

有非零解．

x x 02 1

⒋设齐次线性方程组 1x1 2x2 3x3 0的系数行列式 1 2解，且系数列向量 1, 2, 3是线性的．

3 0，则这个方程组有 ⒌向量组 1 1,0, 2 0,1, 3 0,0的极大线性无关组是 1, 2． ⒍向量组 1, 2, , s的秩与矩阵

1, 2, , s 的秩 相同 ．

⒎设线性方程组AX 0中有5个未知量，且秩(A) 3，则其基础解系中线性无关的解向量有个． ⒏设线性方程组AX b有解，X0是它的一个特解，且AX 0的基础解系为X1,X2，则AX b的通解为X0 k1X1 k2X2．

9．若 是Ａ的特征值，则 是方程 I A 0的根． 10．若矩阵Ａ满足A 1 A ，则称Ａ为正交矩阵． （三）解答题(第1小题9分，其余每小题11分)

x1 3x2 2x3 x4 6

1．用消元法解线性方程组

3x1 8x2 x3 5x4

0

2x1 x2 4x3 x4 12 x1 4x2 x3 3x4

2

解：

1 3 2 16 3r r 1 3 2 16 3r r 1

01923 48 3 8150 212 21

rr1 rr30178 185 rr2 rr3

0178 18 21 41 12 14 0 5 8 10 1 4

02739 90

14 1 32 01 3 48 0 0

0 10 1226

3r4 r3 1

01923 48 019

23 48 19r 12

r4

178 18 178 18 7r3r1

3 r2

10042 124

01015 46 003 312 1

1

3 r3

0 001 14 5r3 r4

001 1 0

056 13

0056 13 4

00011 33

10042 124 0002

1 11 r4

01015 46 100 1 x1 2 01 14 r1542rr r1

4 r2

1

44 r0 0

3

00101

方程组解为

x2 1

0

001 3

0

00

3 x3 1

1 x4 3

11 x 1

２．设有线性方程组 1 1 为何值时，方程组有唯一解?或有无穷多解?

11 y

z 2

111

11 2 r1 r3

2

1 1 1 1 r 1r r 211

1 r3 0 11

2 1 解：

11 2

11

01 1 21 3

］

11 2

r 2 r3

0 11 (1 )

00(2 )(1 )(1 )(1 )2

当 1且 2时，R(A) R() 3，方程组有唯一解

当 1时，R(A) R() 1，方程组有无穷多解

３．判断向量 能否由向量组 1, 2, 3线性表出，若能，写出一种表出方式．其中

8 2 3 5 3 7 5 6

,1 , 2 , 3 7 1 0 3 10 3 2 1

解：向量 能否由向量组 1, 2, 3线性表出，当且仅当方程组 1x1 2x2 3x3 有解

23 5 8 1037

这里 7 5 6 3 0

1 341 1, 2, 3,

1037 0010 117

3 21 10 0

00571

R() R(A)

方程组无解

不能由向量 1, 2, 3线性表出

４．计算下列向量组的秩，并且（1）判断该向量组是否线性相关

1 3 1 1 1 7 3 9 1 2 3 , 2 8 9 , 3 0 3 , 4 6

3 4 13 3 6

13 11 1

3 11

1 7 39112 , 解： 1, 2, 34 2806

0 00018 39 33 0000 413 36 0

0

该向量组线性相关

x1 3x2 x3 2x4 0

５．求齐次线性方程组 5x1 x2 2x3 3x4

0的一个基础解系．

x1 11x2 2x3 5x4 0 3x1 5x2

4x4 0解：

1 31 2 5r r 1 31

2 3r52 r 1 1 A 51 23 1 7 r2

1 r 3r3 r40 143

14

r 102 r3

14 r2 r4 2 7 1 112 5 1

7 0 143 0 3504 0 143 014 3

10

000 00

03

1051 1

1

14

1

0514

2 052r3 r1

1 r 14

r2

3 r4

12 1 1

1 140 0

1 32 3 r3 01 32 1 2r3 r2 01 30 000143 0

0141 0

0

0141

00

0

00

0

00

0

x1 5x3 14

5 方程组的一般解为 x3314

2 14x3 令x3 1，得基础解系

14 x4 0

0

1

x1 5x2 2x3

3x4 11

６．求下列线性方程组的全部解．

3x1 x2 4x3

2x4 5

x1 9x2 4x17

4 5x1 3x2 6x3

x4 1

解：

1 52 311 3 311 9rr r 1 52

31 42 512

15 rr3 0 142

728 514

r2 r 1 10

1 r4

7 1 1 90 417 0 142 2r r2 r3

2 r4

0 14

2 2

1 728

728 0000

536 1 1 028 414 56

0 00000

10

9 11

1 7 14 r2 12 0

1

1 2 x711 9x3 2x4 10072 000 方程组一般解为

x 1 2

0000

0 7x3 12x4 2

令x3 k1，x4 k2，这里k1，k2为任意常数，得方程组通解

x 71 1 k1 k2 1 7 1 9 2 1 x 192 1 1 2 x 7k1 2 1 2k2 2 k1 7 k2

3 x k 2 0 0

1 1

4 k2

0 1 0

７．试证：任一４维向量 a

1,a2,a3,a4 都可由向量组

1 1 1 1

0 1 1 1

1 ， 2 ， 3 ， 4 0 1 线性表示，且表示方式唯一，写出这种表示方式． 0 0 0 1

0

1 1 0 0 0 0 1 0 0

证明： 1 2 1 3 2 0 0

4 3 1

0 0

0 0 1 任一４维向量可唯一表示为

a1 1 0 0 0 a2

a0 a1 0 0 1 2 a3 a4 a1 1 a2( 2 1) a3( 3 2) a4 a( 4 3) 3 a 0 0 1 0 4

0 0 0 1 (a1 a2) 1 (a2 a3) 2 (a3 a4) 3 a4 4

⒏试证：线性方程组有解时，它有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组只有零解． 证明：设AX B为含n个未知量的线性方程组 该方程组有解，即R() R(A) n

从而AX B有唯一解当且仅当R(A) n

而相应齐次线性方程组AX 0只有零解的充分必要条件是R(A) n

AX B有唯一解的充分必要条件是：相应的齐次线性方程组AX 0只有零解

9．设 是可逆矩阵Ａ的特征值，且 0，试证：1

是矩阵A 1

的特征值． 证明： 是可逆矩阵Ａ的特征值

存在向量 ，使A

I (A 1A) A 1(A ) A 1( ) A 1

A 1 1

即

1

是矩阵A 1的特征值

10．用配方法将二次型f x222 x2

1 x2 x34 2x1x2 2x2x4 2x2x3 2x3x4化为标准型． 解：

f (x2x2 x221 x2)2 x3 4 2x2x4 2x2x3 2x3x4 (x12)2 x3 2x3( x2 x4) x4 2x2x4 (x xx22

12)2 (x3 x2 4) x2

令y1 x1 x2，y2 x3 x2 x4，y3 x2，x4 y4

x1 y1 y3即 x2 y3 x3 y2 y

3 y4 x4 y4

则将二次型化为标准型 f y2221 y2 y3