工程数学作业1答案

工程数学作业（一）答案（满分100分）

（一）单项选择题（每小题2分，共20分）

a1

a2a3a1

a2a3

⒈设b1

b2b3 2，则2a1 3b12a2 3b2

2a3 3b3 （D ）．

c1c2

c3c1

c2

c3

A. 4 B. －4 C. 6 D. －6

0001 ⒉若

00a0

0200 1，则a （A ）． 100a A. 12 B. －1 C. 1

2

D. 1

⒊乘积矩阵 1 1 103

中元素c 24 521

23 （C ）． A. 1 B. 7 C. 10 D. 8

⒋设A,B均为n阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（ B）． A. A B

1

A

1

B 1 B. (AB) 1 BA 1

C. (A B) 1 A 1 B 1 D. (AB) 1 A 1B 1 ⒌设A,B均为n阶方阵，k 0且k 1，则下列等式正确的是（D ）．

A. A B A B B. AB nAB C. kA kA D. kA ( k)nA ⒍下列结论正确的是（ A）．B

A. 若A是正交矩阵，则A 1

也是正交矩阵 B. 若A,B均为n阶对称矩阵，则AB也是对称矩阵 C. 若A,B均为n阶非零矩阵，则AB也是非零矩阵 D. 若A,B均为n阶非零矩阵，则AB 0

⒎矩阵 13

的伴随矩阵为（ C 25 ）． A. 1 3 13 5 3 5 25 B. 2 5 C. 21 D. 3 2 1

⒏方阵A可逆的充分必要条件是（B ）．

A.A 0 B.A 0 C. A* 0 D. A* 0

⒐设A,B,C均为n阶可逆矩阵，则(ACB ) 1 （D ）．

A. (B ) 1A 1C 1 B. B C 1

A 1

C. A 1C 1(B 1) D. (B 1) C 1A 1 ⒑设A,B,C均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（A ）．D A. (A B)2 A2 2AB B2 B. (A B)B BA B2 C. (2ABC)

1

2C 1B 1A 1 D. (2ABC) 2C B A

（二）填空题（每小题2分，共20分）

2 10

⒈1 40 ．

00 1

1

11

⒉1

1x是关于x的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 1

1

1

⒊若A为3 4矩阵，B为2 5矩阵，切乘积AC B 有意义，则C为矩阵．

11 15

⒋二阶矩阵A 01 ． 01

5

12

120

⒌设A 40 ,B ，则(A B ) 3 14 34

⒍设A,B均为3阶矩阵，且A B 3，则 2AB 1a

为正交矩阵，则a 0 ． 01 2 12 ⒐矩阵402的秩为 2 ． 0 33

⒏若A

06 3

5 18

72 ．-72

12

⒎设A,B均为3阶矩阵，且A 1,B 3，则 3(A B)

A1

⒑设A1,A2是两个可逆矩阵，则

O

（三）解答题（每小题8分，共48分） ⒈设A

O A2

1

A1 1

OO

． 1 A2

12 11 54

，求⑴A B；⑵A C；⑶2A 3C；⑷A 5B；⑸AB；,B ,C

35 43 3 1

6 1716

2A 3C 37 4 7 5621

(AB)C 15180

12

⑹(AB) C．

03 6

答案：A B A C 0

18 2622 7

A 5B AB 23

120

114 121103 ，求AC BC．

⒉设A ,B ,C 3 21 0 12 21 1 002

114

024 6 410 解：AC BC (A B)C 3 21 2210 201 0 02

310 102

⒊已知A 121 ,B 111 ，求满足方程3A 2X B中的X．

342 211

解： 3A 2X B

3 4 1 2 83 2 11 5 2 11 X (3A B) 25

222

7115 7115

222

2

1020 ⒋写出4阶行列式

1

436

02 53中元素a41,a42的代数余子式，并求其值． 3110

020120

答案：a4 141 ( 1)436 0 a242 ( 1)4 136 45

2 530 53

⒌用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：

122 1234 1000 ⑴ 21 2 ；2

312

⑵ 1100 2 21

111 1

； ⑶

1

0 2 6

1110 ． 1

11

1

解：（1）

1

2

2100 22100 2

r0 2

120 A|I 2

1 2010 2r r 1 2r12

1 r3 3 6 210 3

2 r1 1 3 6 323 10 2 0

2r2 r3 0

2100

1

0 6

3 20

1

00

92

2

1

1

12122 3r29 1 1

0 23

30 2r3 r1 1

009 9

r3 1

2

2 10 2r3 r2

1

0219 2

0

00

139 2

3

21 0 0

1929

9

9

9

219 99

1

22 99 A 1

9 21 99 2 2219

9 9

9

22 6 2617 1

000

（2）A 1

17520 13 (过程略) 1100 102 1 (3) A 1 0 110 4 1 53 00 11

1011011 ⒍求矩阵

1

101100

1012101 的秩． 2

11320

1

1011011 r r 1

1

10

1

1 1101100 r1 r3

0

1

10

1

112

1 101 1 1 1

1 101 1 1 1012101

2r1 r4

0 2

00011 10

r2 r4 0 00011 10

解：

113201 0

1 112 2 1

00011 10

10 11011 r3 r4

01 101 1 1 00011 10 0000000

R(A) 3

3

（四）证明题（每小题4分，共12分） ⒎对任意方阵A，试证A A 是对称矩阵． 证明：(A A')' A' (A')' A' A A A'

A A 是对称矩阵

⒏若A是n阶方阵，且AA I，试证A 1或 1． 证明： A是n阶方阵，且AA I

AA AA A2

I 1

A 1或A 1

⒐若A是正交矩阵，试证A 也是正交矩阵． 证明： A是正交矩阵

A 1 A

(A ) 1 (A 1) 1 A (A )

即A 是正交矩阵

4