线性代数补充习题与参考答案

线性代数补充习题

第一章 行列式

一、填空题

a

1．若 b

ba

0 0，则a,b满足的条件是________ ．

10 1

2．排列36715284的逆序数为________ ．

030ade

3．行列式

01b000

4．行列式0n

5．设行列式2

1f

________ ． 2c

1

20

________ ．

00

00

00

n 1 0 12a

03中，余子式M21 3，则a 369

二、选择题

1．下列行列式中值为0的是（ ）．

（A）行列式中有两行对应元素之和为0 （B）行列式中对角线上元素全为0

（C）行列式中有两行含有相同的公因子 （D）行列式中有一行与另一列对应元素成比例

2x3

x2

1

1中，x3的系数是（ ）．

x

2．在函数f(x) 1 x

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

a11

3．设a21

a12a22a32

a13a23a33

a31

1a1121

1，则a21

21a312

2a11 3a122a21 3a222a31 3a32

a11 a13

a21 a23 （ ）． a31 a33

（A）-2 （B）-1 （C）

3

（D）2 2

a11

4．设D a21

a12a22a13

a23 0，Aij是D元素aij的代数余子式（i,j 1,2,3），若a13A1j a23A2j a33A3j 0，

a31

a32

a33

则（ ）．

（A）j 1 （B）j 2 （C）j 3 （D）j 1或j 3

x1 ax3 0

5．若方程组 2x1 x4

0x仅有零解，则a （ ）．

ax1 2 x3 0 x3 2x4 0（A） 12 （B）12 （C） 11

4

（D）4

三、判断题

1．交换行列式的两行（列），行列式的值不变．（ ）

2．n阶行列式中，若有n2

n个以上元素为0，则行列式的值为0．（ ）a1 b1

b1 c1c1 d1a1b1c1b1c1d1

3．a2 b2

b2 c2

c2 d2 a2b2c2 b2

c2d2．（ ） a3 b3

b3 c3

c3 d3a3b3

c3b3

c3

d3

4．元素aij的代数余子式Aij与aij所在有行、列有关，而与aij的值无关．（ a

100

5．

b010

010100100100c001

a001 b111 c010 d001．

（ d111

111001111010第二章 矩阵

一、填空题

101 1011．设A 010 ,B 010 ，且A B，则 x01 x 101 103 102．设A 021 ,B 0 022 ，则 A B A B ． 000 001

3．设A

10 n

a1

，则A ． 4．设f x x2 x 1,A 13

21

，则f A ）

）

12 *

5．设A ，则A的伴随矩阵A ．

34

6．设A

ab 1

A，则= ． (ad cb 0)

cd

a2

1 （a 0,i 1,2, ,n），则A ． i

an

a1

7．若A

8．设A 2，且A为三阶方阵，则3A ．

12

121 11 ，则

B 9．已知A ，AB ． 101 11

10．

25 4 6

，则X ． X

23 21

二、选择题

1．

x yy z

． （ ）

a bb c

xy z yy z x y y z

（B）

ab c bb c a b b c

（A）

xy yz x yy x yz （C） bc （D） a bb a bc

ab

2．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵．

100 1 001 100

1 （A）010 （B）001 （C） 0 （D）0 0 2 0 001 100 010

3．设A,B,C均为n阶方阵，且|A| 0，则必有（ ）． （A）AB CA B C （B）AB AC B C （C）BC O C O （D）AB C B E

120

0 1 2 1

4．已知矩阵 Am n,Bn m(m n)，则下列运算结果不为n阶方阵的是（ ）．

T

（A）BA （B）AB （C）(BA) （D）AB

T

T

5．若A是（ ），则必有A A．

（A）可逆矩阵 （B）三角矩阵 （C）初等矩阵 （D）对称矩阵

T

263 6．设A 305，且矩阵A的秩R A 2，则a （ ）． 3a4

（A） 9 （B）18 （C） 0 （D）任何数 7．矩阵A经初等行变换化为行阶梯形矩阵后（ ）．

（A） 秩变大 （B）秩变小 （C）秩不变 （D）化为单位方阵 8．设A是2阶可逆矩阵， 为实数，如果 A 4A，则（ ）． （A） 2 （B） 1 （C） 2 （D） 4 9．设A是n阶方阵，k为非零实数，则 （ ）．

（A） 1 knA （A）knA （C） k （D）k

n

10．设A,B均为n阶矩阵，则必有（ ）．

（A）A B A B （B）AB BA （C）AB （D） A B

1

A 1 B 1

三、判断题

1．设A,B都是m n矩阵，则A B B A．（ ） 2．两个n阶可逆矩阵之和一定是可逆矩阵．（ ）

3．如果A与B可交换，且A可逆，则A与B可交换．（ ） 4．n阶方阵A可逆的充分必要条件是A 0．（ ）

5．设A,B,C都是n阶方阵，且A 0，若AB AC，则B C．（ ） 6．设A,B都是n阶方阵，若AB 0，则B 0．（ ） 7．若A与B为n阶方阵，则AB BA．（ ）

8．设A与B为n阶方阵，且A为对称矩阵，则BAB也是对称矩阵．（ ） 9．设A与B为n阶方阵，则 AB．（ ）

10．若A和B皆为n阶方阵，则必有A B A B．（ ）

T

1

第三章 向量组的线性相关性

一、填空题

1．设 1 2, 1,1 , 2 1, 3,2 ，若 3 1, ,5 可由 1, 2线性表示，则

T

T

T

2．设 1 2 1 2, 2 1 2, 3 1 3 2，则 1, 2, 3的线性相关性为线性

3．设 1, 2, 3, 4是n维向量组， 1 1 2, 2 2 3, 3 3 4, 4 4 1，则 1, 2, 3, 4的线性相关性为线性 ．

4．设 1 1,0,0,2 , 2 0,0,1,4 , 3 0,1,0,3 ，则该向量组的秩为R 1, 2, 3 ．

T

T

T

2

5．若向量组 1 1,t 1,0 , 2 1,2,0 , 3 0,0,t 1的秩为2，则t ．

T

T

T

6．若向量组 1 6,k 1,7 , 2 k,2,2 , 3 k,1,0 的秩为3，则k ．

T

T

T

7．若n维向量组 1, 2, , s是R的一组基，则s

n

二、选择题

1．向量组 1, 2, , n线性无关的充要条件是（ ）． (A) (B) (C) (D)

1, 2, , n均不为零向量

1, 2, , n中任意两个向量的对应分量不成比例 1, 2, , n中有一个部分向量线性无关

1, 2, , n中任意一个向量都不能由其余n 1个向量线性表示

2．设向量组 1, 2, 3线性无关，则与 1, 2, 3等价的向量组为（ ）． (A) (C)

1 2, 2 3 (B) 1 2, 1 2,3 1,4 2

1 2, 1 2, 1 3, 1 3 (D) 1 2, 2 3

3．设向量组 , , 线性无关， , , 线性相关，则（ ）． (A)

必可由 , , 线性表示 (B) 必不可由 , , 线性表示

(C) 必可由 , , 线性表示 (D) 必不可由 , , 线性表示 4．设A为m n矩阵，齐次线性方程组Ax 0仅有零解的充分条件是（ ）． (A) A的列向量组线性无关 (B) A的列向量组线性相关 (C) A的行向量组线性无关 (D) A的行向量组线性相关

三、判断题

1．设向量组 1, 2, , r与 1, 2, , s都线性相关，且可以互相线性表示，则必有r s．（ ） 2．n维向量组 1, 2, , s(s 1)线性相关的充要条件是其中有一个向量可由其余向量线性表示．（ ） 3．设n维向量组 1, 2, , r中每一个向量均可由 1, 2, , s线性表示，且r s，则 1, 2, , r必线性相关．（ ）