7第七章 微分方程答案

微 分 方 程

第一节 微分方程的基本概念 1.填空题

(1) 3 (2) A 1 ，B 2．写出下列问题所确定的微分方程

y' x

(1) lnx y(1) 1； （2） y' x2x2 y2 y

(3) y' 3y2y

x

2 2x 0.

第二节 可分离变量方程

1. 填空题 x(1) 特解是y e

tan

2

；

(2) 通解为2ex

e

2y

C

(3) 通解是ln|cscy coty| sin2x C 2. 求解下列可分离变量的微分方程 (1)tanydx sinxdy 0

解 分离变量得

cosydydx

siny sinx

两边积分得 ln|siny| ln|tanx

2| C' 故原方程的通解为 siny Ctanx2

(C eC'

)

(2)(ex y ex)dx (ex y ey)dy 0 解 两边除以 e

x y

，并分离变量得

eydyexey

1 dx

ex 1

两边分别积分得方程的通解为 (ex 1)(ey 1) C(3)x2ydx (1 y2 x2y2 x2)dy 分离变量得

x21 y2

1 x2dx y2

dy 两边分别积分得微分方程的通解为

arctanx lny y2x2

C

(4)y xy' a(y2

y')

分离变量可得 eydx

y ay2

a x

两边积分求得的通解为 ln|

y

ay 1

| ln(a x) lnC，即有 y

ay 1

C(a x). 第三节 齐 次 方 程

1.填空题 x (1) y Cey

(2) y 1 2.求解下列微分方程 (1)y'

yx tanyx

解 令 y ux，则有

dutanu dx

x

两边积分得 sinu Cx

原方程的通解为 siny

x

Cx

(2)(3x2

2xy y2

)dx (x2

2xy)dy 0

(y)2 2y解 方程可化为 y' xx 3

1 2

yx

令 y ux，则有 xdudx 3(u2 u 1)2u 1

分离变量解之得 u2

u 1 Cx

3

原方程的通解为 y2x yx2 x3 C (3)y'

4x 3y

x y

解 另y ux，则有udu(u 2)2

dx u 1

分离变量两端积分得 lnCx(u 2) 1

u 2

原方程的通解为lnC(y 2x)

x

y 2x

0

(4) y' (x y 1)2

解 另 u x y，则方程化为

du

dx

u(u 2)

分离变量两端积分得

u

2

Ce 2xu 故原方程的通解为

x y

x y 2

Ce 2x

第四节 一阶线性方程

1. 选择题

（1） C ； (2)* ( B) 2. 填空题 (1) y

sinx 1x2

1

(2) f(x) (x 1)ex

3.求解下列微分方程 7(1) (x 1)y' 2y (x 1)2

2

5

解 方程改写为 y'

y (x 1)2x 1

由一阶线性微分方程通解公式，得

52

y e

2

x 1

dx[ (x 1)2

e

x 1dx

dx C]

3 (x 1)2

[2(x 1)2

3

C]

3

即方程的通解为 (x 1)2

[2

(x 1)23

C]

(2)

dyy

dx x y

2

解 原方程可改写为

dxdy x

y

y 由一阶线性微分方程通解公式， 1

x

1e

y

dy

[ ye

ydy

C y(y C)]

因此，方程的通解为 x y(y C) (3)2xdy ydx 2lnydy

解 上方程变形为

dxdy 2yx 2lnyy

由一阶线性微分方程通解公式，得

2

2

x e

ydy

( 2lnye ydy

dy C) lny 1 Cy 2y

2因此方程的通解为x lny 1

2

Cy 2 4.求解下列微分方程

dy

y 2xy dx

1

解 此方程为n 时的伯努立方程，两边除以

2

(1)*x

从而原方程的通解为 cosy

y可得到

1

2

Cx x

第五节 可降阶的高阶微分方程

xdy

y

dx y 2x 令 z y 上方程化为

dzdx 12xz 1x

由一阶线性微分方程的通解公式得到z

1x

(x C)，

因此，原方程的通解为 y 1

(x C)2x

。 (2)*tany

dydx 1

x

xcosy 解 两边同乘以cosy,，并令 z cosy可得

dzz

dx x

xz2 两边同除以z2

,并令u 1z

得到

dudx u

x

x 由一阶线性方程的通解公式，解得

u x2 Cx

1. 填空题

(1) y sinx C31x C2x2 C3x C4 (2) y' p

dpdy siny

p

二、求解下列微分方程的通解 (1)y'' 2xlnx

解 对原方程两端连续两次积分得

y' 2xlnxdx x2

lnx x2

2

C1

y C5x31x 18 x3lnx

3

C2 (2)xy'' y' 4x

解 令y' p，则原方程化为

dpdx 1

x

p 4 由一阶线性方程的通解公式，得 p e

1

xdx

( 4e

1

xdx

dx C1

1)

Cx

2x. 从而有

y'

C1

x

2x 两端积分得到原微分方程的通解为y C1ln|x| x2 C2 (3)y'' (y')3 y'

解 令 p y',则 y'' p

dp

dy

，原方程化为 p

dp

dy p3 p 则 p 0 或者 dp

dy 1 p2，由p 0解得方程的一个解 y C；由

dp

dy

1 p2分离变量解得 arctanp y C1 即

dy

dx

tan(y C1) 方程的通解为x ln|sin(y C1)| C 或

y arcsin(Cx2e) C1(C2 e C).注：包括了p 0时的解.

三、求下列微分方程的通解

(1)yy'' 2(y'2 y'),yx 0 1,y'x 0 2; 解 令y' p,则y'' p

dp

dy

.原方程可化为 yp' p2(p2 p)

由y'x 0 2知，p 0不是方程的解.因此，

dpdy

2(p 1) y

两端积分得

1

2

ln|p 1| ln|y| lnC， 即有 p 1 (Cy)2

,由初始条件解得C 1.