§3 两类曲面积分

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§3 两类曲面积分

大学数学课件加习题

§3 两类曲面积分(数学二、三不要求)

【考试要求】

1. 了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系.

2. 掌握计算两类曲面积分的方法.

3. 掌握用高斯公式计算曲面积分的方法，并会用斯托克斯公式计算曲线积分.

4. 了解散度与旋度的概念，并会计算. 5. 会用曲面积分求一些几何量与物理量.

153

大学数学课件加习题

一、基本概念

1. 对面积的曲面积分(第一类曲面积分) (1) 定义:

f(x,y,z)dS lim f( i, i, i) Si.

i 1

(2) 实际意义

① 设 (x,y,z)是曲面形构件的面密度，则M (x,y,z)dS表示该曲面形构件的质

154

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量.

② S dS表示曲面的面积.

2. 性质

(1) 积分与曲面的方向无关，即

f(x,y,z)dS f(x,y,z)dS.

(2) kf(x,y,z)dS k f(x,y,z)dS (k为常数).

155

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(3)

[f(x,y,z) g(x,y,z)]dS f(x,y,z)dS g(x,y,z)dS

(4)

f(x,y,z)dS f(x,y,z)dS f(x,y,z)dS

1 2.

(5) 若关于xOy坐标面对称，则

156

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0 , f(x,y, z) f(x,y,z),

f(x,y,z)dS 2f(x,y,z)dS,f(x,y, z) f(x,y,z), 1

其中 1为上对应于z 0或z 0的部分曲面.

类似地可得曲面关于yOz，xOz坐标面对称的结论.

3. 对坐标的曲面积分(第二类曲面积分) (1) 定义:

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