第5讲--图形变换与证明

图形变换与证明

◆ 【基本考点、方法梳理】

◆1 图形的全等变换：对称翻折、平移、旋转

◆2 解决图形变换类问题关键要抓住变换前后各部分之间的等量关系，常与勾股定理、方程相结合；

◆3 注意全等基本模型的识别与运用：对称型、平移型、旋转型、叠合型；

◆ 几何中的最短距离问题基本原理：

（1）两点之间，线段最短； （2）垂线段最短；

（3）将军饮马问题---解决线段之和最小，线段之差最大；

◆4 猜想三条线段之间的数量关系主要类型有：

（1）和差关系---截长补短法； （2）倍分关系---关注特殊三角形中的边角关系；

（3）平方关系---构造直角三角形的边；（4）等积关系---相似

◆ 【考点题型1】---图形变换的有关计算

【例1】（宁夏）如图，在Rt ABC中， ACB 90 ， A ，将 ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到 EDC，此时点D在AB边上，则旋转角的大小为 ．

2、（铁岭）如图，在 ABC中，AB 2，BC 3.6， B 60 ，将 ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到 ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为 ．

3、（郴州）如图，在Rt ABC中， ACB 90 ， A 25 ，D是AB上一点．将Rt ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B处，则 ADB等于（ ） //

A、25 B、30 C、35 D、40

【例2】（1） AOC沿x轴向右平移得到 OBD，则平移的距离是 个单位长度； AOC与 BOD关于直线对称，则对称轴是 ； AOC绕原点O顺时针旋转得到 DOB，则旋转角度可以是

（2）连结AD，交OC于点E，求 AEO的度数．

◆ 【考点题型2】---图形变换与最值问题

【例3】1、（资阳）如图，在Rt ABC中， ACB 90 ， B 60 ，点D是BC边上的

CD 1，点，将 ABC沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则 PEB的周长的最小值是 ；

N A

C P Rt OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（

3，点C的坐标为（

最小值为（ ） 1，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA PC的2

A

B

C

D、3、（湖北黄石）如图，在等腰三角形ABC中， ABC 120，点P是底边AC上一个动

M，N分别是AB，BC的中点，点，若PM PN的最小值为2，则 ABC的周长是（ ） A、2

B、2 C、4

D、4

4、（沈阳）已知等边 ABC的高为4，该三角形所在的平面内有一点P，若点P到AB的距离是1，点P到AC的距离是2，则点P到BC的最小距离和最大距离分别是

【例4】（南充）在Rt POQ中，OP OQ 4，M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与Rt POQ的两直角边分别交于点A、B。

（1）求证：MB MA

（2）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中， AOB的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在。请说明理由。

◆ 【考点题型3】---三角形的有关计算与证明

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【例5】1、如图，将 ABC沿DE折叠，使点A与BC边的中点F重合，下列结论中：①、EF//AB且EF

S四边形ADFE 1AB；②、 BAF CAF；③、 BDF FEC 2 BAC，④、21 ABC；其中正确的个数是（ ） 2

A、2个 B、3个 C、4个 D、1个

C1 2、（遂宁）如图，在 ABC中， C 90 ， B 30 ，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D。下了说法：①、AD是 BAC的平分线；②、 ADC 60 ；③、点D在AB的中垂线上；④、其中正确的有（ ） S DAC:S ABC 1:3；

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

3、（淮安）如图，在Rt ABC中， ABC 90 ， ACB 30 ，将 ABC绕点A按逆时针方向旋转15 后得到 AB1C1，B1C1交AC于点D，如果AD ABC的周长等于 ；

4、（凉山）平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当 ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的

5、（龙岩）如图，在平面直角坐标系xoy中，A（0，2），B（0，6），动点C在 直线y x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（ ） A、2 B、3 C、4 D、5

◆ 【考点题型4】----创新中考

BC中，AB 23,AC 2,BC边上的高为3，【例6】1、在 A则BC的长为 ；

2、（黔西南）如图7，已知 ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG CD，DF DE，则 A _______度。

3、（温州模拟）将一副三角尺如图拼接：含30 角的三角尺（ ABC）的长直角边与含45 角的三角尺（ ACD）的斜边恰好重合．

已知AB E是AC上的一点，当DE BE时，AE的长为 ；

【例7】（烟台）已知，点P是Rt ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．

（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 ，QE与QF的数量关系式 ；

（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；

（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．

家庭作业（5）

姓名 作业等级

第一部分：

1、（内江）把一块直尺与一块三角板如图放置，若 1 40 ，则∠2的度数为（ ）

A、125 B、120 C、140 D、130

2、（泰州）如图， ABC中，AB AC 6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则 ABD的周长为 cm．

3、如图，在 ABC中，AB AC，AB的垂直平分线交BC的延长线于E，交AC于F， A 50 ，AB BC 16cm，则 BCF的周长和 EFC分别为（ ）

A、16cm，40 B、8cm，50 C、16cm，50 D、8cm，40

4、（泰安）如图，在Rt ABC中， ACB 90 ，AB的

垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若

F 30 ，DE 1，则BE的长是

第二部分：

5、已知： ABC中，AB BC，AC的中点为M，MN AC交 ABC的角平分线于N

（1）如图1，若 ABC 60 ，求证：BA BC 3BN；

（2）如图2，若 ABC 120 ，则BA、BC、BN之间满足什么关系式，并对你得出的结论给予证明． N

AN

MBCB

C