黎曼几何初步前言

一个数学教授的导言

“你们的事业的成长，应该像一棵 树的成长一样。应该是顺其自然、无间断、和全面的。我希望你们的根能够在这个学院的肥沃土地下面尽量深入，以使你们的树干长得既粗且壮。这样，将来无论树 叶多么茂盛丰满，也永不会有水分供应不暇的毛病。在上空将不时有狂风大雨，也会有行雷闪电。所以切勿长得太快太高。”

以上的一段话，是当代英国演员罗伦士奥利维亚在 1947 年 Old Vic 戏剧学院开幕典礼中，向学生致词的一部分。这几句话对你们是有特殊意义的。因为这本书是一本很初步的书。如果你们有意细读这本书的话，则最少要弄清楚从这 本书中你们能够得到些什么。目前一般研究生心目中，最迫切的问题似乎是：有没有一个可以写一篇文章的小题目？因此我要先此声明：这本书不讨论这一类的小题 目。我写这本书的原意，只是希望能使“你们的根尽量向下面深入”。以后是否开枝发芽，就只能看你们自己的努力和天赋。书内所讨论的题目，都是一般的和基础 性的，而且也是任何一个几何学家所熟悉的。要是你们能够好好掌握这几个基本性的概念，并且在将来能对几何学有一个比较全面的理解，则日后自然能够挑一些有 意义的大题目来做。急功好利、只顾眼前的收获、和只找易做的小题目来写文章，这都不是一个数学工作者所应有的态度。这本书应该是你们向前迈进的踏脚石之 一。我希望你们很快就会超过这本书的范围。

每一本书的作者都有一点和一个魔术师相同的地方，就是希望观众或读者所看见的一切，刚好是他希望他的读者或观众所看到一切。那么在我心中，幻想你们能够从这本书中看到的是什么呢？

第一，你们会了解书内的定义和定理既都是人为的，又同时是合理的。也许你们认为一本书要写得高深莫测，才能显出作者的学问渊博。但是我却希望你们会觉得 书中的一切，不但是理所当然，而且是容易得只要肯化一点功夫就可以自己做出来的。要做到这一点，除了一般的“定义→定理→证明”基本形式以外，我设法多加 一些按语来说清楚每个主要定义和主要定理的来龙去脉和直观意义。另一方面我也要指出，书内的概念和结果所以被认为是基本性的，并不是因为某某权威说过是如 此如此，而是因为经过时间的考验后，发现确切是如此的。就是说，从经验的总结，我们现在知道这些概念和定理是有用的和必需的。所以一个初学者应该致力于探 求为什么所学的是有用的和必需的，否则不能对所学有一个全面的了解。这种治学态度，其实不单是适用于数学上，而是适用于一切学问的领域上的，包括社会科学 在内。

其次，我希望你们能够把握全书的要点，同时也能够把握每个定理、每个证明和每个概念的要点。一本好的数学书应该不同于一本字 典。在后者当中每一个字都占有同等的地位。但是如果说这本书内无数的定义、定理和证明都是同样重要的，就未免荒谬无稽了。比方说，弧长的二次变分公式只是 一个一般性的技巧性结果，要点在于弄清楚如何将它应用于具体的情况，而不在于探讨这个公式本身的深度或研究这个公式的推导。所以不应该只算出这个公式而不 给应用，更不应该把这个公式当作主要定理之一。又比如，Synge 定理的证明看来是相当累赘的。但是如果从一个很直观的事实做出发点，就是“任何一个非单连通的紧致黎曼流形上必存在一个非同伦于零的最短闭曲线”，则其它 一切都是顺理成章的了。所以我希望你们能够

一个数学教授的导言

培养一个习惯，总要问：这本书的要点何在？这一章的要点何在？这个证明的要点何在？能找到所有这些问题的答案， 才能说有真正的了解。

最后，我希望你们能够完全以直观的眼光去了解这本书的内容。所有数学书都是充满了技术性的术语的，因为为了要表 达清楚，作者毫无选择的余地。但是一个数学工作者的思考，大部分时候是靠直观（甚至是过分简化的直观）的想法来向前推进的。在几何学上这一点尤其是重要。 所以书内这一类直观的讨论，比其它的数学课本会多一点。也许你们还迷信所谓“数学严格性”，以为数学上最重要的是每一步推论的正确性。这个论点，相当于说 鲁迅文章的好处，主要是在于每句话都写得很通顺。我希望你们不会犯这个“见小不见大”的毛病。

当然以上三点只是我个人的幻想。现实和幻想的距离可能很大，但是当知道我的意图之后，希望你们能够用自己的想像力来填补这本书的不足之处。

我讲这个课的时候，刚好和奥运会重合。由于祖国在奥运会上的丰收，自然引起了“为什么中国数学家不能拿数学界的金牌”的问题。于是“拿金牌”这个口号不胫而走，暑期中心的同志们人人面上都挂著一个号：“中国在什么时候才拿数学界的第一面金牌？”这个问题后来甚至在杂志、报章上也被提出来了。这个想法实 在很具有刺激性。若是真能把一门严肃的学问当作一种体育比赛，以后可以玩的花样就多得不可想像。比方说，人民日报第一页可能有如下的标 题：“Poincaré 与高斯在拓扑场上激战，Poincaré 大胜，五比零。”又或：“群论决赛，Abel 苦战 Galois，不幸以二比三败北”等等。不过我猜想提倡在数学上“拿金牌”，主要的用意也不过是作为一种鼓励罢了。这个用意自然是很好的，但是，这个口号 却不幸被人误解，以为学数学的最终目的，不外是拿一个什么奖之类。这就和古代“十载寒窗，一举成名”的封建思想，有太多重合之处了。你们一定很清楚地认识 到，在你们自己这一代当中，这种功利主义的想法已是与日俱增，犯不著再用“金牌”作为鼓励了。我觉得比较值得做的事，倒是鼓励你们去培养一种“实事求是， 为这门有悠久历史的学问尽一己之力”的学者风度。只是这件事一说开来就不是三言两语所能够说清楚的，而且恐怕也有一些说教的味道。所以我还是回过头来跟你 们讨论数学罢。

“拿金牌”的另一个用意，就是举出一个目标，希望大家朝这个方向走。从一个数学工作者的立场看来，这个作法似乎不够彻 底。如果真要坚持这个观点，就不如索性举出最伟大的数学家作为年轻人的榜样。古语云：“取法乎上，得法乎中。”根据学问远胜于我的人的看法，数学史上登峰 造极的数位，还要数十九世纪的高斯、黎曼、Abel、Poincaré 等等。Hermann Weyl 在 1944 年写 Hilbert 的悼文时就说过，伟大如 Hilbert，他的学术成就还不如高斯和黎曼。但也是 Weyl，毫不含糊地加上一句话：“在我们（即 Weyl 本人）这一代中，并没有一个能和 Hilbert 相比的数学家。”Weyl 是被公认为本世纪数一数二的数学家，同时也许是数学史上的最后一个全才。可是从他这个评价，就可以了解为什么要是想攀登数学的高峰，就非要拿这些十九世纪 的大师们做榜样不可。要认识他们的成就，就得要念他们的全集。如果只谈“拿金牌”而不谈这个明显的事实，则无形中变成鼓励年轻人“取法乎中”，结果自然 “得法乎下”。这就和提倡这个口号的原意脱节了。

一个数学教授的导言

你们一定以为“向大师学习”，只是一句说来动听而不切实际的话。这是可以理解的。毕竟年轻人爱时髦，看的文章总是要愈新愈好。所以一、二十年前的文献已是有过时之嫌，更遑论十九世纪的文章？可是这个提法是无需我来辩护的，因为有才学远超 过我的人来代替我这样做。在我作研究生的时候，有一次去听 André Weil 演讲。他一开头就说年轻人一定要找高斯、Euler 等第一流数学家的全集来读。在这方面，Weil 是一个言行一致的人。1947 年有一段时间他的情绪低落，但从翻阅高斯的文集中得到启发，因而作了一连串的猜想。这就是支配了过去三十年来代数几何发展的“Weil 猜想”。其实相像的例子是太多了。与其多举，不如推荐下列数篇文章，让你们自己亲身体验罢：

（一）高斯创造近代曲面几何学的文 章：Disquisitiones generales circa superficies curves. 这篇文章最近刚有新的英文翻译和注释。请阅 P. Dombrowski, 150 Years After Gauss' Disquisitiones ..., Astérisque, Vol. 62, Soc. Math. France, 1979.

（二）黎曼创造“黎曼几何”的短文：Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. 这篇文章的英文翻译和详细的解释可在本书参考文献〔S8, II〕中找到。

（三）Poincaré创造代数拓扑的一系列文章：

Analysis situs, J Ecole Polytechnique (2) 1 (1895), 1-121;

lr Complément, Rend. circ. mat. Palermo 13 (1899), 285-343;

2d Complément, Proc. London Math. Soc. 32 (1900), 277-308;

3e Complément, Bull. Soc. Math. France 30 (1902), 49-70;

4e Complément, J. Math. Pure Appl. (5) 8 (1902), 169-214;

5e Complément, Rend. circ. mat. Palermo 18 (1904), 45-110.

这些文章都是你们基本上能够看懂的。同时我也可以保证，它们是会使你们感觉无限鼓舞的。

最后我们再回到“拿金牌”这个问题罢。一般人以为参加奥运会的唯一目的就是拿金牌。去年李宁拿了三面金牌，举国称庆，而童非一面也拿不到。所以用“拿金 牌”的尺度来衡量，成功和失败的分野，真是一目了然。但是“金牌得主”的李宁，他个人的想法又是怎么样呢？你们可以去图书馆翻看他在1984年底发表在报 章上，以“童非是真正的英雄”为题的文章，就可以看到另一个观点。其实参加体育竞赛，或是钻研数学，也只不过是人生的一部分而已。探求人生的意义，是我们 至死的一天都学不完的大学问。下面录出的两段话，也许足以提供一些与众不同的看法给大家作参考。第一段是近代奥运会始创人 Pierre de Coubertin 说的：

运动的目的不在胜利而在竞争

人生的意义不在克服而在奋斗

另一段则是古代希腊奥运会的格言之一：

切勿要求胜利，只应要求有一往无前的勇气。

因为从坚忍不拔的奋斗中，你将为自己带来荣誉。

一个数学教授的导言

但更重要的，你将为全人类带来光荣。

伍鸿熙

1985 年 6 月于北京大学