大物B课后题06-第六章 静电场

习题解析

6-7

在坐标原点及点分别放置电量Q1 2.0 10 6C及Q2 1.0

10 6C的点电荷，求

P 1)点处的场强。

解 如图6.4所示，点电荷Q1和Q2在P产生的场强分别为 E1

1Q1r11Q2r2

,E 2

4 0r12r14 0r22r2

而r1 j,r2 j,r1

2,r2 1，所以

E总 E1 E2

1Q1r11Q1r1

4 0r12r14 0r12r1

1.0 10 6 j

2 11

1 4 0

3.9i 6.8j 103 N C 1

9 1

6-8 长为l 15cm的直导线AB上，设想均匀地分布着线密度为 5.00 10C m，的正电荷，

如图6.5所示，求：

（1）在导线的延长线上与B端相距d1 5.0cm处的P点的场强；

（2）在导线的垂直平分线上与导线中点相距d2 5.0cm处的Q点的场强。

解 （1）如图6.5（a）所示，以AB中点为坐标原点，从A到B的方向为x轴的正方向。在导线

AB上坐标为x处，取一线元dx，其上电荷为 dq dx 它在P点产生的场强大小为 dE

1dq1 dx

2

4 0r24 0 l

d x 1 2

1

1dq1 dx1 11 2

12 24 0 l 4 r24 0 d1l d1 02

d1 x 2

1 1

5.00 10 9 9 109 6.75 102 V m 1 2 2 20 10 5 101

方向沿x轴正方向。导线AB上所有线元在P点产生的电场的方向相同，因此P点的场强大小为

E 21

方向沿x轴正方向。

（2）如图6.5（b）所示，以AB中点为坐标原点，从A到B的方向为x轴正方向，垂直于AB

的轴为y轴，在导线AB上坐标为x处，取一线元dx，其上的电荷为 dq dx 它在Q点产生的电场的场强大小为 dE2

1dq1 dx

222

4 0r4 0d2 x

方向如图6.5（b）所示。

在导线AB上坐标为-x处取另一线元dx，其上电荷为 dq dx 它在Q点产生的电场场强大小为 dE1

1dq 1 dx

2

4 0r24 0d2 x2

方向与坐标x处电荷元在Q点产生的电场方向相对与y轴对称，因此 dE1x dE2x

1 dx

2

2

4 0d x

sin 2

1 dx

2

2

2

4 0d x

sin 0

dE1与dE2的合场强dE的大小为

dE dE1y dE2y 2dE1cos

1

dxd2

2 0 d2 x2 3/2

2

12

方向沿y轴正方向，因此Q点的场强的大小为

1

E 21

1

dxd2

2

2 0 d2 x2 3/2

2

1x

2 0d2 d2 x2 1/2

2

1x

4 0d2 2l2 1/2

d2

4

9.00 109 5.00 10 9 0.15

1.50 103 V m 1 2

0.15 0.05 0.052

4

方向沿y轴正方向。

补充 一根玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，其上电荷均匀分布，总电量为q，求半圆中心O

点的场强。

解 建立如图6.6所示的坐标系，在弧线上取线元dl其上电荷为dq

强

q

dl，它在Q点处产生的场 R

dq R

dE 2

4 0RR

1

由于半圆形上电荷对y轴呈对称性分布，电场分布也对y轴呈对称性，所以

Ex 0

Ey 2

20

11qQ2

sin dq 2sin Rd 04 0R2

4 0R2 R2 2 0R2

E Exi Eyj

Q2 2 0R2

j

6-9 一根细有机玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，上半截均匀带有正电荷，电荷线密度为 ；下半

截均匀带有负电荷线密度为 ，如图6.7所示。求半圆中心O点的场强。

解 建立如图6.7所示的坐标系，根据电荷分布的对称性，O点的场强沿 y轴方向正方向，任意电荷

元dq在O点产生的场强大小为 dE

dq 2

4 0R

dq cos cos d

4 0R24 0R1

(dq Rd )

1

此场强在y轴方向的分量为 dEy dEcos

半圆形上半部分和下半部分在O点产生的场强，在x轴方向合场强为零，在y轴方向分量

大小相等，方向相同。因此

E Ey 2

20

cos d

4 0R2 0R

方向沿y轴的正方向。

6-11 （1）一半径为R的带电球体，其上电荷分布的体密度为一常数 ，试求此点球体内、 外的场强分布；

(2)若（1）中带电球体上点电荷分布的体密度为 0 1

r

，其中为一常数 0，r为球上R

任意一点到球心的距离，试求此带点球体内、外的场强分布。

解 （1）当r R时，建立如图6.8（a）所示的高斯面，根据高斯面定理

E dS

s

q

0

式中q

3

，所以 dV dV r V

V

43

E

r 3 0

q

当r R时，建立如图6.8（b）图所示的高斯面，根据高斯面定理

E dS

s

0

式中q

3

，所以 dV dV R V

V

43

R3

E

3 0r2

（2）当r R时，建立如图6.8（a）所示的高斯面，根据高斯面定理

E dS

s

q

0

0 r3 3r r 2

式中q dV 0 1 4 rdr 4 ，所以 03 0 R R V

r

E

0r 3r

1 3 0 4R

q

当r R时，建立如图6.8（b）所示的高斯面，根据高斯面定理

E dS

s

0

式中q

dV

V

R

0 R3 r 2

，所以 0 1 4 rdr

R3 0

0R3

E

12 0r2

6-12 根据量子力学，正常状态的氢原子可以看成由一个电量为+e的点电荷，以及球对称分布在其周

围的电子云构成。已知电子云的电荷密度为

Ce 2r/a其中a0 5.3 10 11m，

3

C e/ a0 是为使点电荷总量等于-e所需要的常量。试问在半径为a0的球内净电荷是

多少？距核远a0处的电场强度是多大？

解 半径为a0的球内净电荷为 q e

dV e

V

a0

Ce 2r/a04 r2dr 0.667e 1.08 10 19(C)

在距核a0远处做半径为a0球形高斯面，根据高斯面定理 所以

E dS

s

q

0

E

1q0

3.46 1011 V m 1 2

4 a0 0

6-13

解 利用补偿法求解，球形空腔中任意一点的电场强度E可看作半径为R、体密度为 的均匀带电球体和半径为r、体密度为 的均匀带电球体所分别产生的场强E1和E2的矢量和。 E1 所以

r1 r，E2 2 3 03 0

r1 r2

E E1 E2 r1 r2

3 03 03 0

而r1 r2 a，上式可改写为 E

a 3 0

6-14 有一对点电荷，所带电量的大小为q，它们间的距离为2l。试就下述两种情形求这2个点电荷连线中点的场强和电势：（1）2个点电荷带同种电荷;(2)2个点电荷带异种电荷。 解 （1） 以2个点电荷连线中点为原点，建立如图6.10所示的坐标系。 2个点电荷在原点O产生的场强大小相等，方向相反，合场强为零。 2个点电荷在原点O电势大小相等，合电势为 U

1q1lq

4 0l4 0q2 0l

（2）以2个点电荷连线中点为原点，建立如图6.10（b）所示的坐标系。 2个点电荷在原点O产生的场强大小相等，方向相同，合场强为 E

q4 0l

i 2

q4 0l

i 2

q2 0l

i 2

2个点电荷在原点O的合电势为 U

1 q1l

0

4 0l4 0q

补充 一均匀带电球壳，它的面电荷密度为 ，半径为R。求球壳内、外的电势分布。 解: 利用高斯定理可求得球壳内、外的电场强度大小分布为

0(r R)

1 4 R2

,(r R)2 4 r0