重庆大学电磁场习题答案(第2章)

重庆大学电磁场习题答案(第2章)

第二章习题答案

2-2 真空中有一长度为l的细直线，均匀带电，电荷线密度为 。试计算P点的电场强度： （1）P点位于细直线的中垂线上，距离细直线中点l远处； （2）P点位于细直线的延长线上，距离细直线中点l远处。 解：

（1）可以看出，线电荷的场以直线的几何轴线为对称轴，产生的场为轴对称场，因此采用圆柱坐标系，令z轴与线电荷重合，线电荷外一点的电场与方位角 无关，这样z 处取的元电荷

dq＝ dz ，它产生的电场与点电荷产生的场相同，为：

dz dE e 2R

4 0R

其两个分量：

dz

dE dE e cos （1） 2

4 0R

dz

dEz dE ez sin （2） 2

4 0R

又

y

R

cos

,z' tan

所以：

dz' sec2 d （3）

图2-2长直线电荷周围的电场

式（3）分别代入式（1）（2）得：

dE

sin cos

d d ； dEz

4 0 4 0

‘

E ＝2

'

d sin sin ' （4）

4 0 2 0 02 0

cos

l2

l24

l2 （5）

又 sin

式（5）代入式（4）得：

E ＝

25 0 25 0l

由于对称性，在z方向 Ez 分量互相抵消，故有Ez 0

E E e Ezez

25 0l

e

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（2）建立如图所示的坐标系

在x处取元电荷dq dx则它在P点产生的电场强度为

dx dE e

2R

4 0R

其在x方向的分量为：

x

dEx

又 R l x

dx

4 0R2

dEx

dx

4 0R

2

dx

4 0(l-x )

2

Ex

l/2

l/2

1

2 4 l x3 l4 0(l-x )00 l/2

dx

l/2

Ex Exex

ex 3 0l

2-3 真空中有一密度为2 nC/m的无限长线电荷沿y轴放置，另有密度分别为0.1nC/m2和 0.1nC/m2的无限大带电平面分别位于z=3m和z=-4m处。试求p点（1，-7，2）的电场强度E。

0.1

z 4 z 3

解：z 3m和z 4m的带电平面产生的电场为E1 0

0 z 4或 3

沿y轴放置的线电荷产生的电场为

E2

2

2 0

x 22 22xx y x z1 11z x2 z2xx zznV/m 22

x z0 z

所以，p点（1，-7，2）的电场强度为

E E1 E2

0.1

0

ez

1

ex 2ez

01 4

1

22.59ex 33.88ezV/m

应用叠加原理计算电场强度时，要注意是矢量的叠加。

2-4 真空中的两电荷的量值以及它们的位置是已知的，如题图2-4所示，试写出电位 （r, )和电

场E(r, )的表达式。

解：为子午面场，对称轴为极轴，因此选球坐标系，由点电荷产生的电位公式得：

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(p) 1 2

q14 0r1

q24 0r2

12

r2

12

又 r1 (r2 c2 2rcco s) ， r2 (r2 d2 2rdcos )

r1

r1 r c rer ccos er csin e r ccos er csin e

r2 r d rer dcos er dsin e r dcos er dsin e

(p) 1 2

q14 0r1q1

q24 0r2

q2

1

题图2-4

1

4 0(r2 c2 2rccos )24 0(r2 c2 2rccos )2

q1r1q2r2

E(p) 33

4 0r14 0r2

1 q1 (r ccos )er csin e q2 (r dcos )er dsin e 33

4 0 222222(r c 2rccos )(r d 2rdcos )

1 q1(r ccos )q2(r dcos ) 334 0

222(r2 d2 2rdcos )2 (r c 2rccos ) 1 q1csin q2dsin 334 0

222(r2 c2 2rccos )2 (r c 2rccos )

er

e

2-5解，

(1) 由静电感应的性质和电荷守恒原理，充电到U0后将电源拆去，各极板带电情况如图（1）所示 UAB

ddd

E1 E2 E3 U0

333

U

E1 E2 E3 0

d

dU

UAC UCD UDB E1 0;

33

(1)

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UBC UCB UCD UDB

C、D板无电荷

2U0

3

(2) 若将C、D板用导线联接，C、D两板的电荷将在电场作用下进行中和，一直到UCD=0，内侧正负电荷全部中和掉，其它部分的电荷由于电场的作用以及电荷守恒（这时电源已拆去）而都不变化，再断开联接线时也不会变化。电荷分布情况如图（2）所示。

dU

E2 0 UCD 0UAC UDB E1 0

33

C 2U0U0

；UBC UCB 0 UDB UAB

33

E1 0； 0 0U0d

0

C、D板有电荷

2 0(2)

（3）由于在联接C、D板时有电源，电源的作用将强迫A、B板间的电压UAB=U0；C、D

增大到E1 ,E3 ，也即板被短接强迫UCD=0，为满足UAB=U0的条件，显然必须使E1,E3

相应的电荷密度应增大，如图（3）所示。由于电场力的作用，依次拆去电源与C、D

板间联线时，情况不再变化。

0 E2

3U0dd

U0 ； E1 E3 E1 E3 332d

dU 0 UAC UDB E132

A

C

2 0(3)

D

B

UCD 0

UBC UCB 0 UDB

C、D板有电荷

U0

2

（4）若在继（2）之后将A、B板短接，则A、B板成为一常电位系统，由于在（2）的情

况下，UAB

2U0

0，因此电荷将进行中和来达到UAB 0的强制条件。而C、D板与外3

界没有导线联接，各自板上的总电荷保持不变，但会在内外两侧间发生电荷转移。达到UAB 0后，一切电荷的转移都将停止，电荷分布如图（4）所示。

A

C D

B

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E3 E1

1

2 ， E2

0 0

d

E3 0 1 2 0 0U0d UAB E1 E2

2

解得

E3 U0d E2 2E1 2U0d E1

UAC UDB E1

2-6 半径为b的无限长圆柱中，有体密度为 0的电荷，与它偏轴地放有一半径为a的无限长圆柱空洞，两者轴线平行且距离为d，如图2-6所示，求空洞内的电场强度。

dd

2U0 U0 ，UCB E2

33

(a)

(b)

图2-6

解：由于空洞存在，电荷分布不具有对称性，由此产生的场亦无对称性，因此不能用高斯定律求解。这是可把空洞看作也充满 0，使圆柱体内无空洞，然后再令空洞中充满- ，并单独作用，分

别求出两种场的分布后叠加即可。设空洞内的电场强度为E。

第一步 0 单独作用，如图（b）所示， 由体密度为 0的电荷产生的电场强度为E1，由高斯定

理