矩阵论试卷

武汉大学矩阵论期末考试试卷

ÉÇ ÆêÆ ÚOÆ 2013–2014Æc1 ÆÏ

5Ý Ø6Ï" ÁÁK(Aò)

5¿¯‘:

1. Áò 11 ÁK,÷©100©, Á m150©¨.2. ò‰Y Ü 3ÉÇ ÆÁò’þ, 3Ù¦ à .6¶

ÆÒ

X

!O e K( K÷©64©,z K8©)

74 4

õ‘ª.1.¦Ý A= 4 8 1

4 1 8 1

2.® Ý A= 0

1

16

42 ,¦ mR(A) Ø mN(A).26

1

102i 2 3. A= 3+i51+i0 ,x= .ÁO : Ax 1, Ax 2, Ax ∞, A 1, A ∞. 0 2i2 4

i

t

sintcostdd ,¦4. A(t)= A(t),A2(t),A(t)dt.

dtdt0t2et

∞0.2 5.O ?ê

k=00.7

k0.5

Ú.0.4

110

0 0 ,¦f(A).2

1 √

6. f(z)=,Ý A= 0

7. W1=span[α1,α2],W2=span[β1,β2],Ù¥α1=(1,2,1,0)T,α2=( 1,1,1,1)T,β1=(2, 1,0,1)T,β2=(1, 1,3,7)T.Á¦W1+W2 W1∩W2 ‘ê,¿¦ÑW1∩W2.

2 1 1

,¦Ý A JordanIO/J,¿¦C Ý P,¦P 1AP=J.8. A= 2 1 2

112 !)‰e K( K÷©36©,z K12©)

T T

9. R3¥, 5C T :Tαi=βi,i=1,2,3.Ù¥α1=1,0, 1,α2=2,1,1,

T T T T

α3=1,1,1,…β1=0,1,1,β2= 1,1,0,β3=1,2,1.

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(1)¦T3Äα1,α2,α3e Ý L«A;

T T T

(2)¦T3IOÄe1=1,0,0,e2=0,1,0,e3=0,0,1e Ý L«B.

201

.10. A=

120

(1)¦A ÛÉ σi;

(2)¦AHA,AAH IO A þ;(3)¦Ý A

1

11.® A= 1

2

ÛÉ ©).

1221

111 ,b= 1 .1112

(1)¦A ÷ ©);(2)¦2Â_A+;

(3) §|Ax=b´Äk)?ek),¦ ‰ê);eÃ),¦ ‰ê ¦).

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2013–2014Æc1 ÆÏ5Ý Ø6Ï" Á

ë ‰Y·(Aò)

1. (λ)=det(λI A)=(λ 9)(λ+9)2,m(λ)´ (λ) Ϫ,u

m(λ)=(λ 9)(λ+9)=λ2 81.

2.Ý A _, þ 5Ã',

R(A)=span(1,0,1)T,(1,4,2)T,(6,2,6)T.

(½R(A)=R3.)

Ø mN(A) Ax=0 ) m,ÏÝ A _, Ax=0 k"),=

N(A)={0}.

T

3.Ax=2,7 i, 2+6i,K

Ax 1=2+

√√

Ax 2==.

√

Ax ∞=.

√√√

A 1=max3+,6,4+5=3+.

√√ √ √

A ∞=max4,++5,9=++5.

4.

cost sintd ,A(t)=

tdt2te

cost sintsintcostsintcostcost sintd2

+ .A(t)=

t2t2ttdt2tetete2te

t

1 costsint

.A(t)dt=

13t

0te 1

√

√

+.

0.20.5

.Ï A 1=0.9<1,¤±?êÂñ,…ÙÚ (I A) 1.5.PA=

0.70.4

0.8 0.5

,(I A)=

0.70.6

1 0.60.5 10 65

(I A) 1=½.

0.130.70.813786.5¿ Ý A e λ1,2=1,λ3=2. Ý , éuλ1,2

=1,f(J1)=

10

1

1

2

√

.éuλ3=2,f(J2)=

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1 f(J1)

= 0 f(A)= f(J2)

110

0 .√ ,

7.W1+W2=span[α1,α2]+span[β1,β2]=span[α1,α2,β1,β2].

1 1211 121

1 1 1 117 2 1C 0

α1,α2,β1,β2= →

1 0103 013 01170000 dim(W1+W2)=3.d‘ê½n

dim(W1∩W2)=dimW1+dimW2 dim(W1+W2)=4 3=1.

γ∈W1∩W2,γ=x1α1+x2α2=x3β1+x4β2,z àg 5 §|

(α1,α2, β1, β2)x=0.

) x1= k,x2=4k,x3= 3k,x4=k. γ= kα1+4kα2=k( 5,2,3,4)T,=

W1∩W2=span( 5,2,3,4)T.8.k¦A e IO/.Ï

λ 2111

.λI A= ～2 λ 1 2λ+1

1 1λ 2(λ 1)2

100 J= 11 .

1

100 A[p1,p2,p3]=[p1,p2,p3] 11 ,

1

¤±e IO/

P=[p1,p2,p3],Kk

[Ap1,Ap2,Ap3]=[p1,p2,p2+p3].u´k

Ap1=p1,Ap2=p2,Ap3=p2+p3,

d

=(I A)p1=0,=(I A)p2=0,=(I A)p3= p2.

1111 1 1 I A= 222 ～ 000 ,

1 1 1000

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àg §|(I A)x=0 Ä:)X α1=(1,1,0)T,α2=(1,0,1)T.q

1 1 1 b1 111b1

200b2 2b1 22b2 ～ 0 ,

000b3+b11 1 1b3

¦ §|(I A)p3= p2k), p2I÷vb2 2b1=0,b3+b1=0,=b2=2b1,b3= b1, p2=(b1,b2,b3)T=(b1,2b1, b1)T=b1(1,2, 1)T.K(I A)p2=0 )

p2=(1,2, 1)T=2α1 α2,

§|(I A)p1=0 )

p1=α1=(1,1,0)T.

2¦) àg 5 §|(I A)p3= p2,d

111 11 1 11

I A, p2= ～22 2 0000 2 ,

1 1 110000 p3=(1,0,0)T.

111

P= 20 1 .

0 10

9.(1)dTα1,Tα2,Tα3=α1,α2,α3A,

1 A=α1,α2,α3Tα1,Tα2,Tα3

1

1210 11

= 12 011 1 =

111101

(2)® Tα1,α2,α3=α1,α2,α3A,“\

1

α1,α2,α3=e1,e2,e3 0

1

Te1,e2,e3

Te1,e2,e3

121

1 3 2 .244

011

21

11 ,11

121

A,=e,e,e011011 123

111 111

=e1,e2,e3

121

A011 011 ,

111 111

121