余弦函数的图像与性质 教学设计

　　余弦函数的图像与性质

　　【教学目标】

　　1.能利用单位圆中的余弦线画出余弦函数的图像.

　　2.能类比正弦函数图像与性质得出余弦函数的性质.

　　3.能理解余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义.

　　4.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间.

　　【知识梳理】

　　问题1:余弦函数的图像的作法

　　(1)平移法:

　　余弦函数y=cos x的图像可以通过将正弦曲线y=sin x的图像向平移个单位长度得到(如图).

　　(2)五点法:

　　余弦曲线在[0,2π]上起作用的五个关键点分别为.

　　问题2:余弦函数的定义域、值域和单调区间

　　(1)定义域为;(2)值域为;(3)单调增区间为,减区间为.

　　问题3:余弦函数的周期、奇偶性、对称轴和对称中心

　　(1)周期T=;(2)偶函数;(3)对称轴为

　　(4)对称中心为.

　　问题4:余弦函数的复合函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A0)的对称轴、对称中心和单调区间

　　(1)当ωx+φ=+kπ时,即为对称中心;

　　(2)当ωx+φ=kπ时,即为对称轴;

　　(3)当ωx+φ∈[-π+2kπ,2kπ]时,求得x属于的区间为区间;当ωx+φ∈[2kπ,π+2kπ]时,求得x属于的区间为区间.(注:以上k∈Z)

　　【典型例题】

　　要点一余弦函数的图像及应用

　　例1画出y＝cos x(x∈R)的简图，并根据图像写出：

　　1(1)y≥时x的集合； 213(2)－y≤x的集合． 22

　　解：用“五点法”作出y＝cos

　　x的简图

　　1

　　1π1π10，点作x轴的平行线，从图像中看出：在[－π，π]区间与余弦曲线交于?－?，??点，在[－(1)过??2?32??32?

　　ππ?1?π，π]区间内，y≥时，x的集合为?x|－3≤x≤3. 2??

　　1当x∈R时，若y≥， 2

　　ππ??－2kπ≤x≤2kπ，k∈Z? 则x的集合为?x?3??3?

　　1?3?－2π2kπ1，0，－?，(2)过?点分别作x轴的平行线，从图像中看出它们分别与余弦曲线交于0，2??2??322π1π3π3＋2kπ，－?，k∈Z点和?－＋2kπ，k∈Z，?2kπ)，k∈Z点，那么曲线上夹在对k∈Z，?2??322?6?6

　　13应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求，即当－y≤x的集合为： 22

　　ππ2π??2π??x－＋2kπ≤x≤－＋2kπ或2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z?. 663??3?规律方法：利用三角函数的图像或三角函数线，可解简单的三角函数不等式，但需注意解的完整性． 跟踪演练1 求函数f(x)＝lg cos x25－x的定义域．

　　?cos x0?－5≤x≤5???解 由题意，x满足不等式组?，即，作出y＝cos x的图像． 2?25－x≥0???cos x0

　　结合图像可得：

　　3ππ3－5，－?∪?∪?，5?. x∈?2??22?2??

　　要点二：余弦函数单调性的应用

　　例2求函数y＝log (cos 2x)的增区间．

　　解：由题意得cos 2x0且y＝cos 2x递减． π∴x只须满足：2kπ2kπ＋k∈Z. 2π∴kπkπ＋k∈Z. 4π1kπ，kπ＋?，k∈Z. ∴y＝log(cos 2x)的增区间为?

　　4??2

　　2

　　规律方法：用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．

　　跟踪演练2：比较下列各组数的大小．

　　(1)－sin 46与cos 221；(2)cos??－235??与cos??－174??.

　　解：(1)－sin 46＝－cos 44＝cos 136，

　　cos 221＝－cos 41＝cos 139.

　　∵1801391360，

　　∴cos 139cos 136，即－sin 46cos 221.

　　(2)cos??235??＝cos235π＝cos??4π＋35π??＝cos35π，

　　cos??－174π??＝cos174＝cos?ππ?4π4＝cos4.

　　∵035ππ，且y＝cos x在[0，π]上递减，

　　∴cos3π

　　5πcos4，即cos??－23

　　5π??cos?17

　　?－4π??

　　要点三：余弦函数值域(最值)

　　例3：求下列函数的值域．

　　(1)y＝－cos2x＋cos x；(2)y＝2－sin x

　　2＋sin x.

　　解：(1)y＝－??cos x－1

　　2??21

　　4.

　　∵－1≤cos x≤1，

　　∴当cos x＝1

　　2y1

　　max＝4 当cos x＝－1时，ymin＝－2.

　　∴函数y＝－cos2x＋cos x的值域是??－2，1

　　4.

　　(2)y4－?2＋sin x?4

　　2＋sin x2＋sin x1.

　　∵－1≤sin x≤1，∴1≤2＋sin x≤3，

　　∴11

　　32＋sin x≤1，

　　∴44

　　32＋sin x≤4，

　　∴1

　　3≤4

　　2＋sin x－1≤3，即1

　　3≤y≤3.

　　3

　　2－sin x1?∴函数y??33?. 2＋sin x

　　规律方法：求值域或最大值、最小值问题，一般依据为：

　　①sin x，cos x的有界性；②sin x，cos x的单调性；③化为sin x＝f(y)或cos x＝f(y) 利用|f(y)|≤1来确定；④通过换元转化为二次函数．

　　跟踪演练3求函数y＝cos2x＋4sin x的最值及取到最大值和最小值时的x的集合．(提示：sin2α＋cos2α＝1) 解：y＝cos2x＋4sin x＝1－sin2x＋4sin x＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2＋5.

　　∴当sin x＝1，即x＝2kππ2k∈Z时，ymax＝4；

　　当sin x＝－1时，即x＝2kπ－π2k∈Z时，ymin＝－4.

　　所以ymax＝4，此时x的取值集合是

　　???x?π?

　　?x＝2kπ＋2k∈Z?? ；

　　y?πmin＝－4，此时x的取值集合是??x??x＝2kπ－2，k∈Z??? .

　　一、选择题

　　1．函数y＝cosx(0≤x≤π3)的值域是( )

　　A．[－1,1] B．1

　　21]

　　C．[01

　　2 D．[－1,0]

　　[答案] B

　　[解析] ∵函数y＝cosx在[0，π

　　3上是减函数，

　　∴函数的值域为[cosπ1

　　3，cos0]，即[21]．

　　2．函数y＝cos2x－3cosx＋2的最小值为( )

　　A．2 B．0

　　C．－1

　　4 D．6

　　[答案] B

　　[解析] y＝??cosx3

　　22－1

　　4，当cosx＝1时，y最小＝0.

　　3．函数y＝cosx＋|cosx|，x∈[0,2π]的大致图像为( )

　　4

　　[答案] D

　　[解析] y＝cosx＋|cosx|

　　?2cosx x∈[0，π2]∪[3π＝?2，2π]

　　?0 x∈[π23π2] ，故选D.

　　4．方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内( )

　　A．没有根 B．有且仅有一个根

　　C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根

　　[答案] C

　　[解析] 在同一坐标系中作函数y＝|x|及函数y＝cosx的图像，如图所示．

　　发现有2个交点，所以方程|x|＝cosx有2个根．

　　5．已知函数f(x)＝sin(πx－π2)－1，则下列命题正确的是( )

　　A．f(x)是周期为1的奇函数

　　B．f(x)是周期为2的偶函数

　　C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数

　　D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数

　　[答案] B

　　[解析] 由f(x＋2)＝f(x)可知T＝2，

　　再f(x)＝sin(πx－π2)－1＝－cosπx－1，

　　∴f(－x)＝－cos(－πx)－1＝－cosπx－1＝f(x)．

　　5

　　cosx6．函数y＝的定义域是( ) 3＋cosx

　　A．R

　　B．{x|x≠2kπ，k∈Z}

　　C．{x|x≠2kπ＋π，k∈Z}

　　kπD．{x|x≠，k∈Z} 2

　　[答案] A

　　[解析] 要使函数有意义，则需3＋cosx0，

　　又因为－1≤cosx≤1，显然3＋cosx0，所以x∈R.

　　二、填空题

　　7．函数y＝cosx在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是______________．

　　[答案] (－π，0]

　　[解析] ∵y＝cosx在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，

　　∴只有－πa≤0时，满足已知条件，∴a∈(－π，0]．

　　4744－?________cos(－π)． 8．比较大小：cos??10?9

　　[答案]

　　47344π3π－π?＝cos?－5π?＝－，cos?－π?＝cos?－5π＝－cos，由y＝cosx在[0，π][解析] cos?10?9?10???9??109

　　47443π－cos?－π?. 上是单调递减的，所以cosπcoscos??10?9?109

　　三、解答题

　　319．若函数f(x)＝a－bsinx，求函数y＝1－acosbx的最值和周期． 22

　　3[解析] (1)当b0时，若sinx＝－1，f(x)max＝； 2

　　1若sinx＝1，f(x)min＝－ 2

　　?即?1a－b＝－.?23a＋b＝，2 1??a＝2，解得? ??b＝1.

　　1此时b＝10符合题意，所以y＝1cosx. 2

　　31(2)当b＝0时，f(x)＝a，这与f(x)有最大值b＝0不成立． 22

　　6

　　3(3)当b0时，显然有?a－b?2?a＋b＝－12

　　?1

　　解得??a＝2，符合题意． ??b＝－1，

　　所以y＝1－11

　　2cos(－x)＝1－2cosx.

　　综上可知，函数y＝1－131

　　2cosx的最大值为222π.

　　一、选择题

　　1．将下列各式按大小顺序排列，其中正确的是( )

　　A．cos0cos1

　　2cos30cosπ

　　B．cos0cosπcos1

　　2cos30cos1

　　C．1

　　2cosπ

　　D．cos0cos1

　　2cos30cos1cosπ

　　[答案] D

　　[解析] 在[0，π1

　　2]上，0π

　　61，又余弦函数在[0，π1π

　　2]上是减少的，所以26又cosπ0，所以1π

　　2cos6π.

　　2．函数f(x)＝－xcosx的部分图像是( )

　　[答案] D

　　[解析] 由f(x)＝－xcosx是奇函数，可排除A，C.令x＝π

　　4f(π

　　4＝－π

　　4cosπ

　　4＝－π

　　8故答案选D.

　　二、填空题

　　3．若cosx＝2m－1

　　3m＋2，且x∈R，则m的取值范围是________．

　　7

　　[答案] (－∞，－3]∪??－15∞??

　　[解析] ∵??2m－1

　　?3m＋2?＝|cosx|≤1，

　　∴|2m－1|≤|3m＋2|.

　　∴(2m－1)2≤(3m＋2)2.∴m≤－3，或m≥15∴m∈(－∞，－3]∪??－15∞??.

　　?

　　4．设f(x)的定义域为R，最小正周期为3π??－πx

　　2.若f(x)＝?cosx?20??， 则f?－15??＝________.

　　?sinx?0≤xπ?，?4?

　　[答案] 2

　　2[解析] ∵T＝3π

　　2kT＝k3π

　　2k∈Z)都是y＝f(x)的周期，

　　∴f??－15π

　　4??＝f???－3?3π

　　2＋3π

　　4＝f?3π

　　?4??

　　＝sin3ππ

　　42

　　42三、解答题

　　5．利用余弦函数的单调性，比较cos(－23π

　　5与cos(17π

　　4的大小．

　　[分析] 利用诱导公式化为[0，π]上的余弦值，再比较大小．

　　[解析] cos(－23π

　　5)＝cos23π3π

　　5＝5

　　cos(－17π17ππ

　　4)＝cos4＝cos4.

　　因为0π

　　43π

　　5，且函数y＝cosx，x∈[0，π]是减函数，所以cosπ3π

　　4cos5

　　即cos(－23π17π

　　5)cos(－4)．

　　6．求下列函数的定义域．

　　(1)ycos?sinx?；

　　(2)y1－2cosx＋lg(2sinx－1)．

　　[解析] (1)要使y＝cos?sinx?有意义，需有cos(sinx)≥0，

　　又∵－1≤sinx≤1，而y＝cosx在[－1,1]上满足cosx0， ∴x∈R.

　　∴y＝cos?sinx?的定义域为R.

　　8

　　??1－2cosx≥0，(2)要使函数有意义，只要? ?2sinx－10，?

　　?即?1sinx?2.1cosx≤，2

　　由下图可得

　　1π5π1π5πcosx≤的解集为{x|＋2kπ≤x2kπ，k∈Z}．sinx的解集为{x|＋2kπ＋2kπ，k∈Z}．它们的交集为233266

　　π5π{x|＋2kπ≤x＋2kπ，k∈Z}，即为函数的定义域． 36

　　1aπ7．函数f(x)＝－＋acosx－cos2x(0≤x≤)的最大值为2，求实数a的值． 242

　　aπ1at－?[解析] 令t＝cosx，由0≤x≤，知0≤cosx≤1，即t∈[0,1]．所以原函数可以转化为y＝－t2＋at＋－＝－??2?224

　　2a21a＋＋－，t∈[0,1]． 424

　　a(1)若，即a≤0时，当t＝0时， 2

　　1aymax＝－＝2，解得a＝－6. 24

　　aa(2)若

　　01，即02时，当t＝时， 22

　　a21aymax＝－＝2，解得a＝3或a＝－2，全舍去． 424

　　a(3)若，即a≥2时，当t＝1时， 2

　　1a10ymax＝－1＋a＋－＝2，解得a＝243

　　10综上所述，可知a＝－63

　　9