探求正多边形两个性质的实质
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探求正多边形两个性质的实质
62
数学通报2014年第53卷
第5期
张青山
(四川I职业技术学院应用数学与经济系
629000)
文[1]给出了正多边形的两个性质.
性质1设正押边形A,A:…A。的外心为0,则△A:At+1A。的重心G。(i一1,2,…,咒一2,卵≥5)共圆,圆心C在OA。上,且OC:CA。=1:2.
性质2设正规边形A,A:…A。的外心为O,则△A。A汁。A。的垂心H。(i一1,2,…,行一2,咒≥5)共圆,圆心就是A。.
文[2]对这两个性质给出了简证,并进行了推广.
我们对此进行了探究,对性质1给出如下的证明.
简证不妨设正挖边形A,A。…A。的外接圆
可知均有磁一要菌成立,得五商一赢+面
一昙两+石声一百2uB。十了2瓦杏一百2A。B。,即知
o
o
o
o
点集{G。,G。,…,G。)是由点集{B。,Bz,…,B。)通过以点A。为位似中心,变换关系为A。瓦=
A。瓦的位似变换而得到的,而通过位似变换得
0
到的平面图形与原图形相似,正如棱锥的一个简单性质:把一个棱锥用平行于其底面的平面去截它,其截口图形必与棱锥底面图形相似.由于点集{B。,B。,…,B。)为一个正,z边形的顶点集,那么点集{G,,G:,…,G。)也是一个正,z边形的顶点集.从而揭示出正多边形这两个性质的本质.由此我们得到如下推广.
定理1
对正行边形A。A:…A。与空间一个
的半径为1,记砣一{西《,令A川一A。,设线段
A。A…的中点为B;(i一1,2,…,行),显然有画=
妻(两+耐),|菌I=cos至,那么
碡:亟篁錾:委商+苟,
我们进一步由窿一要商发现向量碡与向
定点P,正孢边形A。A。…A。的中心为O,三角形PA。A:,PA。A。,…,PA。A。的重心分别为G。,G。,…,G。,则多边形G,Gz…G。是正n边形,中心C在0P上,且0C:CP一1:2.
简证
故赢=碡一砣=善菌,即可知c--莓,J一号Io--茸,-1一了2c。s詈,即得△A:A川A。
的重心Gi(i一1,2,…,咒一2,,2≥5)共圆,圆心C在OA。上,且OC:CA。一1:2.证毕.
记A㈣一A。.设线段AiA㈩的中点为
B;(i一1,2,…,n),由三角形重心的性质显然有关
系磁=要F茸,邸知点集{G。)是由点集{B:)通过以点P为位似中心,变换关系为赢一睾蕊
的位似变换而得到的,易知咒边形B。B:…B。为正魂边形,那么即可知多边形G。G。…G。是正九边形,中心C在OP上,且0C:CP—l:2.
定理2对正规边形A,A:…A。与空间两个定点P,Q,线段PQ的中点为S,正挖边形A,A。…A。的中心为0,三角形PQA,,PQA。,…,PQA。的重心分别为G。,G:,…,G。,则多边形G,G2…G。是正靠边形,中心C在OS上,且0C:
CS一2:1.
量丽的夹角等于向量商与向量簖的夹角
业,这说明△A,AmA。的重心G;(i=1,2,…,
竹一2,扎≥5)不仅共圆,而且还是一个以C为中心的正行边形的,z一2个顶点.这引发了我们的进一步思考,记A。一。,A。,A。这三点的重心为G。一。,
A。,A。,A,这三点的重心为G。,易知有A。一,G。一:
瓦,硪蕊.当一,A2i12,…,佗时,=G。一1。,A1G。=G。A。.当一,,…,佗时,(下转封底)
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