高一数学竞赛讲义六---平面向量

　　222?1的解集是 2n6. 如图，半径为1的扇形中心角为?，一个矩形的一边在扇形的半3径上，则矩形的最大面积是 nn7.在Rt?ABC中，a,b是两直角边，c是斜边，对于正数n?3,求证：a?b?c

　　8.设x?y?z?xyz,且x,y,z都不等于?1，求证：

　　xyz4xyz???. 1?x21?y21?z2(1?x2)(1?y2)(1?z2)

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　　数学竞赛讲义六-----平面向量

　　知识点：

　　题型分析：

　　课标练习： ????1.已知a?(4,3)，向量b是垂直a的单位向量，则b??????2.若a?1,b?1,5a?b?4,则b?5a???????????????????3.设四边形ABCD为平行四边形，AB?6，AD?4.若点M，N满足BM?3MC，

　　??????????????????DN?2NC，则AM?NM?（ ）

　　（A）20 （B）15 （C）9 （D）6

　　?????????????4.???C是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足???2a，?C?2a?b，则下

　　列结论正确的是（ ）

　　??????????? （A）b?1 （B）a?b （C）a?b?1 （D）4a?b??C ??

　　????????????1????5.已知AB?AC,AB?,AC?t ，若P 点是?ABC 所在平面内一点，且t????????????????????AB4ACAP?? ，则PB?PC 的最大值等于（ ） ABAC

　　A．13 B．15 C．19 D．21

　　?6.在等腰梯形ABCD 中,已知AB//DC,AB?2,BC?1,?ABC?60 ,动点E 和F 分

　　????????????1????????????DC, 则AE?AF的最小值别在线段BC 和DC 上,且,BE??BC,DF?9?

　　为 .

　　?????????157.已知e1,e2是空间单位向量，e1?e2?，若空间向量b满足b?e1?2,b?e2?，且对于22?????????????????任意x,y?R，b?(xe1?ye2)?b?(x0e1?y0e2)?1(x0,y0?R)，则x0?，

　　?y0?，b?

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　　例题探究：

　　??????????例题1：在?ABC中，设向量CA?a,CB?b，求证：?ABC的面积

　　为

　　??S?a?(a1,a2)，b?(b1,b2)，用ai,bi(i?1,2)表示S.

　　??

　　????例题2：已知向量a?(cos?,sin?)，b?(cos?,sin?)，且a,b满足关系ka?b?

　　??kb，（k?0）.

　　????（1）将a,b的数量积表示为k的解析式f(k)；（2）求a与b的夹角的最大值.

　　2222例题3：已知实数a,b,c,d满足a?b?c?d?6,且a?b?c?d?12,求证：对于任意

　　的x?{a,b,c,d}，都有0?x?3.

　　????????例题4：在?ABC中，已知D分BC所成的比为2，M分AD所成的比也是2，过M作直

　　线交AB,AC于P,Q两点，求证：

　　AB2AC?等于定值. APAQ

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　　例题5：已知?ABC的顶点坐标依次为A(1,0),B(5,8),C(7,?4),在边AB上有一点P,其横坐标为4，在AC上求一点Q，使线段PQ把?ABC分成面积相等的两部分.

　　例题6：运用向量的方法求cos

　　例题7：平面上有两个三角形?A1B1C1和?A2B2C2,他们的重心分别为O1,O2,求证：2?4?6??cos?cos的值. 7773O1O2?A1A?B1B?C12.

　　例题9：求证：?ABC的外心O、重心G、垂心H在一直线上，且OG:GH?1:2.

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　　例题10：求证：在一个四边形中，两组对边中点的距离之和等于它的半周长当且仅当四边形为平行四边形.

　　同步练习：

　　????311.设a?(,sin?),b?(cos?,)，且a∥b，则锐角?? 23?????????2.

　　已知a?b?3,a,b的夹角为，则使向量?a?b与a??b的夹角为锐角时，实数?4

　　的取值范围是 .

　　?????

　　?

　　3.已知向量m?(cos ,sin )和n?sin ,cos ), ?(?,2?),且m?n?，求?)的值. 28

　　?

　　?3x3x?xx?,sin),b?(cos,?sin),x?[0,] 4.已知向量a?(cos22222????b及a?b； （1）求a?

　　????3b?2ma?b，若函数f(x)的最小值为?，求实数m的值. （2）定义f(x)?a?2

　　5.设O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，设P满足

　　????????????????ABACOP?OA??(，则点P一定通过?ABC的（ ） ?)，??[0,?∞）ABAC

　　A．外心 B.内心 C.重心 D.垂心

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　　???????????????????????6.设I为?ABC的内心，当AB?AC?5,且BC?6时，若AI??AB??BC,则

　　? ，??

　　????????????????7.在?ABC中，点O为?ABC的外心，H为?ABC的垂心，求证：OH?OA?OB?OC

　　8.求值：cos5?cos77?cos149?cos221?cos293

　　9.如图，P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PECF是矩形，

　　证明：（1）PA=EF；（2）PA?EF

　　00000AE

　　10. 如图，若点L,M,N分别是?ABC的边BC,CA,AB上的点，且

　　??????????????AN?n,当AL?BM?CN?0 时，求证：l?m?n ABBLCM?l,?m, BCCAA

　　B