张量样题
张量初步
第一章
1. 形如Tijgigj的张量所构成的线性空间是几维的，其中i,j?1,2,3。
G?v?T??v?2. 问：n?。 ?Tn?式中转置符号T的具体含义（其中G是度规张量，n、v）
3. 试证?i
jgigj是张量。
4. 试证?ijkgigjgk是张量。
5. 利用?ijk证明：对n维空间中的二阶张量A和B，有det?A?B??det?A?det?B?
6. 为什么说应力可以表示成一个二阶张量？为什么说应力可以表示成一个对称的二阶张
量？ T
??7. 写出平面极坐标的自然基矢量。（用笛卡尔坐标系中的基矢量i，j表示）
i8. 对已存在的坐标x可定义相应的自然基矢量gi??r，利用对偶关系可以得到空间每i?x
点上的逆变基矢量gi，举例说明，一般情况下，并不存在与gi相对应的坐标。
??r?i9. 对已存在的坐标x可定义相应的自然基矢量gi?i，利用对偶关系可以得到空间每?x
??点上的逆变基矢量gi，试证gi??xi。
?203???10. 有一个二阶张量A，其在笛卡尔坐标系中的分量??aij????0?10?，相应的基记作
??021??
i1、i2、i3，现给出一组新基g1?i1?i3， g2?i1?i2?i3，g3??i1?i2?i3。试写出相应的基矢量转换系数，并求A在新基下的协变分量和逆变分量。
11. 在笛卡尔坐标下写出 纯剪切 情况下的应力矩阵，已知?1??3??，?2?0。其中???
?i表示面ei上单位面积所受的力。
12. 有三维空间中单位矢量t和任意阶张量T，证明T?t?t?T??t??t?T?
第二章
13. 试证明实对称二阶张量Ν对应不同特征值的主方向相互正交。
14. 简述四阶张量Cijkl的Voigt对称性，并写出二维空间中Cijkl的所有独立分量。
15. 对任意阶张量Tijk...ggg...，其旋转量是什么？
16. 将张量Ν?e1e1?2e2e2?2?e1e2?e2e1??2?e1e3?e3e1?化为标准型。 ijk??
张量初步
第三章
*d?k17. 对二阶张量T，推导。 dT
18. 试写出二阶张量的Hamilton-Cayley等式，并针对?????0无重根的情况给出证明。
19. 若定义导函数F??v?由下式确定：F??v;u??u?F??v?，试在曲线坐标下给出相应的求
导公式；
20. 试证明?2?B?并说明双点积的具体次序（B是二阶v???2B?v?B??2v?2?B???v，
张量，v是矢量）。
21. 试对自变量为对称二阶张量的张量函数f?ε?求导，并说明所得的导函数关于最后两个
指标是对称的。
第四章
22. 克氏记号是张量的分量吗？试推导第二类克氏记号的坐标变换公式：
?2xp?xl?
pql?r?? ??i?j??i?j??r?pq p?x?x?xl?
i?j?
23. 对矩形区域证明Green变换公式：
2?dv?T???daT va24. 证明:?????F??????F???F
第五章
dn。 25. 写出曲面的第一标准张量和第二标准张量；并证明第二标准型等于?dr?
????dr?26. 试说明 对应变?ij的定义1： dr drdr?2?ijdxdx（x是介质的拉格朗日坐标）
和定义2： ε?iji1?u???u?（u是速度场） 是等价的； 2
27. 计算球面上Riemann-Christoffel张量的分量R1212；球面高斯坐标? ,??与笛卡尔坐标的
?x?Rsin cos??对应关系为：?y?Rsin sin?； ?z?Rcos ?
1kp??gik?gjk?gijp?i?k（?ij?g?j2?x?x?x????rjl??rjk??rssr?l??sk?jl??jk?sl?） ?，Rijkl?gir?k???x?x???
ii28. 证明：对自然基矢量的逆变基g，有??g?0。
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