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张量样题

上传者:黄敏杰
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上传时间:2017-06-04
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张量样题

  张量初步

  第一章

  1. 形如Tijgigj的张量所构成的线性空间是几维的,其中i,j?1,2,3。

  G?v?T??v?2. 问:n?。 ?Tn?式中转置符号T的具体含义(其中G是度规张量,n、v)

  3. 试证?i

  jgigj是张量。

  4. 试证?ijkgigjgk是张量。

  5. 利用?ijk证明:对n维空间中的二阶张量A和B,有det?A?B??det?A?det?B?

  6. 为什么说应力可以表示成一个二阶张量?为什么说应力可以表示成一个对称的二阶张

  量? T

  ??7. 写出平面极坐标的自然基矢量。(用笛卡尔坐标系中的基矢量i,j表示)

  i8. 对已存在的坐标x可定义相应的自然基矢量gi??r,利用对偶关系可以得到空间每i?x

  点上的逆变基矢量gi,举例说明,一般情况下,并不存在与gi相对应的坐标。

  ??r?i9. 对已存在的坐标x可定义相应的自然基矢量gi?i,利用对偶关系可以得到空间每?x

  ??点上的逆变基矢量gi,试证gi??xi。

  ?203???10. 有一个二阶张量A,其在笛卡尔坐标系中的分量??aij????0?10?,相应的基记作

  ??021??

  i1、i2、i3,现给出一组新基g1?i1?i3, g2?i1?i2?i3,g3??i1?i2?i3。试写出相应的基矢量转换系数,并求A在新基下的协变分量和逆变分量。

  11. 在笛卡尔坐标下写出 纯剪切 情况下的应力矩阵,已知?1??3??,?2?0。其中???

  ?i表示面ei上单位面积所受的力。

  12. 有三维空间中单位矢量t和任意阶张量T,证明T?t?t?T??t??t?T?

  第二章

  13. 试证明实对称二阶张量Ν对应不同特征值的主方向相互正交。

  14. 简述四阶张量Cijkl的Voigt对称性,并写出二维空间中Cijkl的所有独立分量。

  15. 对任意阶张量Tijk...ggg...,其旋转量是什么?

  16. 将张量Ν?e1e1?2e2e2?2?e1e2?e2e1??2?e1e3?e3e1?化为标准型。 ijk??

  张量初步

  第三章

  *d?k17. 对二阶张量T,推导。 dT

  18. 试写出二阶张量的Hamilton-Cayley等式,并针对?????0无重根的情况给出证明。

  19. 若定义导函数F??v?由下式确定:F??v;u??u?F??v?,试在曲线坐标下给出相应的求

  导公式;

  20. 试证明?2?B?并说明双点积的具体次序(B是二阶v???2B?v?B??2v?2?B???v,

  张量,v是矢量)。

  21. 试对自变量为对称二阶张量的张量函数f?ε?求导,并说明所得的导函数关于最后两个

  指标是对称的。

  第四章

  22. 克氏记号是张量的分量吗?试推导第二类克氏记号的坐标变换公式:

  ?2xp?xl?

  pql?r?? ??i?j??i?j??r?pq p?x?x?xl?

  i?j?

  23. 对矩形区域证明Green变换公式:

  2?dv?T???daT va24. 证明:?????F??????F???F

  第五章

  dn。 25. 写出曲面的第一标准张量和第二标准张量;并证明第二标准型等于?dr?

  ????dr?26. 试说明 对应变?ij的定义1: dr drdr?2?ijdxdx(x是介质的拉格朗日坐标)

  和定义2: ε?iji1?u???u?(u是速度场) 是等价的; 2

  27. 计算球面上Riemann-Christoffel张量的分量R1212;球面高斯坐标? ,??与笛卡尔坐标的

  ?x?Rsin cos??对应关系为:?y?Rsin sin?; ?z?Rcos ?

  1kp??gik?gjk?gijp?i?k(?ij?g?j2?x?x?x????rjl??rjk??rssr?l??sk?jl??jk?sl?) ?,Rijkl?gir?k???x?x???

  ii28. 证明:对自然基矢量的逆变基g,有??g?0。

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