第七章++锐角三角函数

　　第七章 锐角三角函数

　　一．选择题（共10小题）

　　1．如果把一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的余切值（ ）

　　A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的

　　C．没有变化 D．不能确定

　　2．Rt△ABC中，∠C=90，

　　cosA=，AC=6cm，那么BC等于（ ）

　　A．8cm B．cm C．cm D．cm

　　，AC=1，那么∠A的正切tanA等于3．已知，在Rt△ABC中，∠C=90，AB=

　　（ ）

　　A． B．2 C． D．

　　4．如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（ ）

　　A． B． C． D．

　　5．在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是（ ）

　　A． B． C． D．2

　　6．在Rt△ABC中，∠C=90，a=4，b=3，则cosA的值是（ ）

　　A． B． C． D．

　　7．3tan45的值等于（ ）

　　A．

　　B．

　　3 C．1 D．3 第1页（共22页）

　　8．已知∠A=30，下列判断正确的是（ ）

　　A．sinA= B．

　　cosA= C．tanA= D．cotA=

　　9．已知tanA=1，则锐角A的度数是（ ）

　　A．30 B．45 C．60 D．75

　　10．已知α为锐角，sin（α﹣20）=

　　A．20 B．40 C．60 D．80

　　二．填空题（共10小题）

　　11．如图，∠AOB放置在正方形网格中，则∠AOB的正切值是．

　　，则α=（ ）

　　12．在Rt△ABC中，∠C=90，若sinA=，则cosB=．

　　13．已知CD是Rt△ABC斜边上的高线，且AB=10，若BC=8，则cos∠ACD=．

　　14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90，BC=3cm，AC=4cm，那么sinA=

　　15．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC=

　　16．如图，等腰△ABC的周长是36cm，底边为10cm，则底角的正切值是

　　第2页（共22页）

　　第七章 锐角三角函数

　　参考答案与试题解析

　　一．选择题（共10小题）

　　1．（2017?奉贤区一模）如果把一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的余切值（ ）

　　A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的

　　C．没有变化 D．不能确定

　　【解答】解：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，

　　所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变．

　　故选：C．

　　2．（2017春?洪泽县校级月考）Rt△ABC中，∠C=90，cosA=，AC=6cm，那么BC等于（ ）

　　A．8cm B．cm C．cm D．cm

　　=，AC=6cm， 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90，cosA=∴AB=10cm，

　　∴

　　BC=

　　故选A．

　　=8cm．

　　3．（2016?钦州校级自主招生）已知，在Rt△ABC中，∠C=90，AB=

　　那么∠A的正切tanA等于（ ）

　　A． B．2 C． D． ，AC=1，

　　【解答】解：∵∠C=90，AB=

　　∴

　　BC==2， ，AC=1，

　　第7页（共22页）

　　则tanA=

　　故选：B．

　　=2，

　　4．（2016?市中区三模）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（ ）

　　A． B． C． D．

　　【解答】解：由格点可得∠ABC所在的直角三角形的两条直角边为2，4， ∴斜边为

　　∴cos∠

　　ABC=

　　故选B．

　　5．（2016?东方校级模拟）在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是（ ）

　　=2=． ．

　　A． B． C． D．2

　　【解答】解：由图可得，tanα=21=2．

　　故选D．

　　6．（2016?深圳模拟）在Rt△ABC中，∠C=90，a=4，b=3，则cosA的值是（ ）

　　第8页（共22页）

　　A． B． C． D．

　　【解答】解：∵∠C=90，a=4，b=3，

　　∴

　　c==5，

　　∴cosA=

　　=，

　　故选：A．

　　7．（2017?南开区一模）3tan45的值等于（ ）

　　A． B．

　　3 C．1 D．3

　　【解答】解：3tan45=31=3．

　　故选：D．

　　8．（2017?宝山区一模）已知∠A=30，下列判断正确的是（ ）

　　A．sinA= B．

　　cosA= C．tanA= D．cotA=

　　【解答】解：∵∠A=30，

　　∴sinA=，

　　cosA=，tanA=，cotA=，

　　故选：A．

　　9．（2016?利辛县模拟）已知tanA=1，则锐角A的度数是（ ）

　　A．30 B．45 C．60 D．75

　　【解答】解：∵tanA=1，A为锐角，tan45=1，

　　∴∠A=45．

　　故选B．

　　10．（2016?罗定市一模）已知α为锐角，sin（α﹣20）=，则α=（

　　第9页（共22页）

　　）

　　A．20 B．40 C．60 D．80

　　【解答】解：∵α为锐角，sin（α﹣20）=

　　∴α﹣20=60，

　　∴α=80，

　　故选D．

　　二．填空题（共10小题）

　　11．（2017?高台县模拟）如图，∠AOB放置在正方形网格中，则∠AOB的正切值是

　　．

　　，

　　【解答】解：

　　如图，过A作AC⊥BO于点C，

　　设小正方格的边长为1，则AC=2，OC=4，

　　在Rt△AOC中，tan∠AOB=故答案为：．

　　12．（2017?宁波模拟）在Rt△ABC中，∠C=90，若sinA=，则cosB=

　　【解答】解：由∠C=90，若sinA=，

　　得

　　cosB=sinA=，

　　第10页（共22页）

　　==， ．

　　故答案为：．

　　13．（2017春?金牛区校级月考）已知CD是Rt△ABC斜边上的高线，且AB=10，若BC=8，则cos∠ACD=

　　．

　　【解答】解：∵CD是Rt△ABC斜边上的高线，

　　∴CD⊥AB，

　　∴∠A+∠ACD=90，

　　∵∠ACB=90，

　　∴∠B+∠A=90，

　　∴∠ACD=∠B，

　　∴cos∠ACD=cos∠

　　B=故答案为：．

　　14．（2016?广州一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90，BC=3cm，AC=4cm，那么sinA=

　　==，

　　【解答】解：∵，∠C=90，BC=3，AC=4，

　　由勾股定理得，AB=5， sinA==． 故答案为：．

　　第11页（共22页）

　　15．（2016?新化县一模）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC=

　　．

　　【解答】解：在格点三角形ADC中，AD=2，CD=4，

　　∴AC=

　　∴cosC=

　　故答案为：．

　　， ，

　　16．（2017?顺德区一模）如图，等腰△ABC的周长是36cm，底边为10cm，则底角的正切值是

　　．

　　【解答】解：∵AB=AC，AD是高，BC=10cm，

　　∴BD=DC=BC=5cm，AB=AC=13cm，

　　在Rt△ADB中，

　　由勾股定理得：AB2=AD2+BD2，

　　∴AD=12cm，

　　∴tanC=

　　=． ． 故答案为：

　　第12页（共22页）

　　17．（2017?闵行区一模）已知在Rt△ABC中，∠C=90，BC=6，sinA=，那么AB= ．

　　【解答】解：∵sinA=

　　∴

　　AB==9， ，

　　故答案为：9

　　18．（2016?天桥区一模）如图，△ABC中，∠ACB=90，

　　tanA=，AB=15，AC= ．

　　【解答】解：∵∠ACB=90，tanA=∴设BC=4x，则AC=3x，

　　∵

　　AB=

　　∴15=

　　解得：x2=9， =15， ， =，

　　∴x1=3或x2=﹣3（不合题意，舍去），

　　∴AC=3x=9；

　　故答案为：9．

　　19．（2016?临清市一模）如图，在△ABC中，∠A=30，∠B=45，AC=2

　　CB

　　第13页（共22页）

　　，则

　　【解答】解：过C作CD⊥AB，交AB于点D，

　　在Rt△ACD中，∠A=30，AC=2

　　∴

　　CD=AC=，

　　， ， 在Rt△BCD中，∠B=45，

　　CD=

　　∴

　　CB=CD=

　　， 故答案为：

　　20．（2016?徐汇区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB，垂足为D，tan∠ACD=，AB=5，那么CD的长是

　　．

　　【解答】解：∵∠ACB=90，CD⊥AB，

　　∴∠ACD+∠BCD=∠BCD+∠B=90，

　　∴∠B=∠ACD，

　　∵tan∠ACD=，

　　∴tan∠B==，

　　设AC=3x，BC=4x，

　　∵AC2+BC2=AB2，

　　∴（3x）2+（4x）2=52，

　　第14页（共22页）

　　解得：x=1，

　　∴AC=3，BC=4，

　　∵S△ABC=

　　∴

　　CD=故答案为：

　　三．解答题（共10小题）

　　21．（2016?连云港）如图，在△ABC中，∠C=150，AC=4，tanB=．

　　（1）求BC的长；

　　（2）利用此图形求tan15的值（精确到0.1，参考数据：=1.4，=1.7，=2.2）

　　=， ． ，

　　【解答】解：（1）过A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，如图1所示： 在Rt△ADC中，AC=4，

　　∵∠C=150，

　　∴∠ACD=30，

　　∴AD=AC=2，

　　CD=AC?cos30=4

　　=2

　　=， =， 在Rt△ABD中，

　　tanB=∴BD=16，

　　∴BC=BD﹣CD=16﹣2；

　　（2）在BC边上取一点M，使得CM=AC，连接AM，如图2所示：

　　∵∠ACB=150，

　　∴∠AMC=∠MAC=15，

　　tan15=tan∠AMD====2﹣≈0.27≈0.3．

　　第15页（共22页）

　　22．（2016?厦门校级模拟）如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值．

　　【解答】解：设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，

　　∴EC=

　　EM=

　　CM=∴EM2+CM2=CE2，

　　∴△CEM是直角三角形，

　　∴sin∠ECM=

　　23．（2015秋?太原校级期末）在Rt△ABC中，∠C=90，若sinA=

　　sinB，tanB的值．

　　．求cosA，=． ==5x， x，

　　=2x，

　　【解答】解：∵sinA==，

　　∴设AB=13x，BC=12x，

　　第16页（共22页）

　　由勾股定理得：AC=∴cosA=

　　sinB=cosA=

　　tanB= ==，

　　， ． ==5x，

　　24．（2016?呼伦贝尔）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=，求sinC的值．

　　【解答】解：∵在直角△ABD中，tan∠BAD=∴BD=AD?tan∠BAD=12=9，

　　∴CD=BC﹣BD=14﹣9=5，

　　∴AC=

　　∴sinC=

　　==． =13， =，

　　25．（2016?包头）如图，已知四边形ABCD中，∠ABC=90，∠ADC=90，AB=6，CD=4，BC的延长线与AD的延长线交于点E．

　　（1）若∠A=60，求BC的长；

　　（2）若sinA=，求AD的长．

　　（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）

　　第17页（共22页）

　　【解答】解：（1）∵∠A=60，∠ABE=90，AB=6，tanA=∴∠E=30，BE=tan60?6=6

　　又∵∠CDE=90，CD=4，sinE=

　　∴

　　CE==8， ， ，∠E=30， ，

　　∴BC=BE﹣

　　CE=6﹣8；

　　， （2））∵∠ABE=90，AB=6，sinA==

　　∴设BE=4x，则AE=5x，得AB=3x，

　　∴3x=6，得x=2，

　　∴BE=8，AE=10，

　　∴tanE=

　　解得，DE===

　　，

　　=， =， ∴AD=AE﹣DE=10﹣即AD的长是

　　．

　　26．（2016?济宁二模）如图，已知AC=4，求AB和BC的长．

　　【解答】解：作CD⊥AB于点D，

　　在Rt△ACD中，∵∠A=30，

　　∴∠ACD=90﹣∠A=60，

　　CD=AC=2，

　　第18页（共22页）

　　AD=AC?cosA=2．

　　在Rt△CDB中，∵∠DCB=∠ACB﹣∠ACD=45，

　　∴BD=CD=2，

　　∴BC=2，

　　．

　　∴AB=AD+BD=2+2

　　27．（2016?富顺县校级一模）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanC=，AC=3，AB=4，求△ABC的周长．

　　【解答】解：在Rt△ADC中，tanC=设AD=k，CD=2k， AC=

　　∵AC=3

　　∴

　　k=3， ，解得k=3， =k， =，

　　∴AD=3，CD=6，

　　在Rt△ABD中， BD=

　　==，

　　++6=10+3+． ∴△ABC的周长=AB+AC+BD+CD=4+3

　　28．（2017?红桥区模拟）某数学兴趣小组的同学在一次数学活动中，为了测量某建筑物AB的高，他们来到与建筑物AB在同一平地且相距12米的建筑物CD上的C处观察，测得某建筑物顶部A的仰角为30、底部B的俯角为45．求建筑物AB的高（精确到1米）．（可供选用的数据：≈1.4，≈1.7）．

　　第19页（共22页）

　　【解答】解：过点C作AB 的垂线，垂足为E，

　　∵CD⊥BD，AB⊥BD，

　　∴四边形CDBE是矩形，

　　∵CD=12m，∠ECB=45，

　　∴BE=CE=12m，

　　∴AE=CE?tan30=12∴

　　AB=4=4（m）， +12≈19（m）．

　　答：建筑物AB的高为19米．

　　29．（2017?城区一模）目前，崇明县正在积极创建全国县级文明城市，交通部门一再提醒司机：为了安全，请勿超速，并在进一步完善各类监测系统，如图，在陈海公路某直线路段MN内限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45，∠CBN=60，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由． （参考数据：，）

　　第20页（共22页）

　　CAD=．

　　（1）求旗杆EF的高；

　　（2）求旗杆EF与实验楼CD之间的水平距离DF的长．

　　第21页（共22页）

　　【解答】解：（1）∵∠EAF=60，∠EBF=30，

　　∴∠BEA=30=∠EBF，

　　∴AB=AE=12米，

　　在△AEF中，EF=AEsin∠EAF=12sin60=6

　　答：旗杆EF的高为6

　　（2）设CD=x米，

　　∵∠CBD=45，∠D=90，

　　∴BD=CD=x米，

　　∵sin∠CAD=，

　　∴tan∠CAD=∴， =， 米； 米，

　　解得：x=36米，

　　在△AEF中，∠AEF=60﹣30=30，

　　∴

　　AF=AE=6米，

　　∴DF=BD+AB+AF=36+12+6=54（米），

　　答：旗杆EF与实验楼CD之间的水平距离DF的长为54米．

　　第22页（共22页）