(第一周)九上第二十一章一元二次方程定义、配方法

　　一元二次方程练习一教案：（定义、配方法）

　　1. 一元二次方程的定义：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程。举例：x?2x?3?0；x?x?0；x?2。

　　2. 一元二次方程的一般形式：ax2?bx?c?0?a?0?，其中ax叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次2222

　　项，b叫做一次项系数，c叫做常数项。举例：x?2x?3?0。

　　3. 一元二次方程的解：能使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也可以叫做一元二次方程的根。 2

　　例题1 （1）下列方程中，是一元二次方程的有 。（填序号）

　　①x?5；

　　22②x?y?3?0； ③3x?25x?3?0； 23y2

　　?y?0。 ④x(x?5)?x?2x； ⑤2?5x?8?0；⑥x4

　　（2）若关于x的方程(a－5)xa?3+2x－1=0是一元二次方程，则a的值是_______。

　　思路分析：（1）按照一元二次方程的定义进行判断：①③⑥是一元二次方程；②是二元一次方程；④经过化简二次项系数为0，不是一元二次方程；⑤分母中含有未知数，方程左边是分式而不是整式；

　　（2）由一元二次方程的定义可得a?3?2，所以a??5；但是当a?5时，原方程二次项系数为0，不是一

　　2元二次方程，故a?5应舍去；当a??5时，原方程为?10x?2x?1?0，因此a??5。

　　答案：（1）①③⑥；（2）?5

　　点评：做概念辨析题要紧扣定义，对于一元二次方程要把握这样几个关键点：①方程两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数为2。

　　例题2 把方程x(2x－1)=5(x+3)化成一般形式是___________，其中二次项是_________，

　　一次项系数是_________，常数项是_________。

　　思路分析：将方程左右展开，然后移项（把所有的项都移到等号的左边），合并同类项即可：由x?2x?1??5?x?3?得2x2?x?5x?15，移项得2x2?x?5x?15?0，合并同类项得2x2?6x?15?0。

　　答案：2x?6x?15?0；2x；?6；?15

　　点评：任何一个一元二次方程通过化简都可以得到ax?bx?c?0?a?0?的形式，方程左边是含有未知数的222

　　二次式，项数有可能为三项、两项或一项，方程的右边一定为0。

　　例题3 一元二次方程?m?1?x?x?m?1?0有一个解为x=0，试求2m?1的值。 22

　　思路分析：方程的解就是使方程左右两边相等的未知数的值，因此把x=0代入原方程得到一个关于m的方程，解此方程可得m的值。

　　答案：

　　1

　　解：把x=0代入?m?1?x2?x?m2?1?0

　　得?m?1?02?0?m2?1?0；

　　即m?1?0

　　∴m??1

　　当m??1时，原方程的二次项系数为0，与题意不符，故舍去；

　　当m?1时，原方程为2x?x?0，符合题意；

　　故m?1，此时2m?1?1。

　　点评：利用一元二次方程的解的定义，把问题转化成关于m的方程，解得m之后要注意检验m的值是否符合题意，注意合理取舍。

　　22

　　【综合拓展】注意对“元”和“次”的理解：“元”是指未知数，一元就是指一个未知数，二元就是指两个未知数，以此类推；“次”就是指次数，因为只有整式才有次数的概念，因此不论是一元一次方程还是现如今所学的一元二次方程均要求方程两边均为整式，所以一元一次方程就是指只含有一个未知数并且未知数的次数是1的整式方程；一元二次方程是指只含有一个未知数并且未知数的次数为2的整式方程。

　　【高频疑点】一元二次方程的一般形式是ax2?bx?c?0?a?0?，注意a≠0这一条件。

　　21. 若方程?

　　a?3?x??1是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是___________；

　　2. 关于x的方程?a?1?xa2?1?x?5?0是一元二次方程，则a的值是___________。

　　解一元二次方程:配方法

　　1. 解一元二次方程的思路：降次，即把二次降为一次，把一元二次方程转化为一元一次方程，化未知为已知，化繁为简，这是转化思想的体现。

　　2. 配方法：利用配方法将一个一元二次方程的左边配成完全平方形式，而右边是一个非负数，即把一个方程转化成?x?n??p（p≥0）的形式，这样解方程的方法叫做配方法。

　　3. 配方法具体操作：

　　（1）对于一个二次三项式，当二次项系数为1时，配上一次项系数一半的平方就可以将其配成一个完全平方式，举例：解方程x?2x?3?0，

　　（2）当二次项系数不为1时，首先把二次项系数化为1，方程两边除以二次项系数，然后再利用（1）的步骤完成配方。举例：解方程2x?2x?3?0。

　　4. ?x?n??p（p≥0）的解法：对于方程?x?n??p（p≥0），它的左边是一个完全平方式，右边是非负数，利用平方根的定义，可以将这个方程进行降次，降为两个一元一次方程，

　　即x?n?

　　元一次方程即可。 22222和x?n?解两个一

　　例题1 （1）用配方法解方程x?2x?5?0时，原方程应变形为（ ）

　　A. ?x?1??6 B. ?x?1??6

　　C. ?x?2??9

　　2222 D. ?x?2??9 2 2

　　（2）下列方程中，一定有实数解的是（ ）

　　?x?A. x?1?0 B. ??a??a ?2?22

　　C. ?2x?1??3?0 D. ?2x?1??0

　　思路分析：（1）可以采用验证法：将四个选项逐一化成一般形式，然后与原题中的方程进行对照；也可以直接

　　2221，即?x?1??6，故选B；配方，由x?2x?5?0得x?2x?5，方程两边分别加上1，得x?2x?1?5?（2）222

　　任何一个数的平方均为非负数，即对于方程?x?n??p当p≥0时才有实数解。故选D。

　　答案：（1）B；（2）D

　　点评：配方法是一种代数式的恒等变形。

　　例题2 利用配方法解一元二次方程：（1）x?7??6x；（2）x?3x?1?0。

　　思路分析：对于二次项系数为1的一元二次方程，直接进行配方。

　　答案：（1）x?7??6x

　　解：移项得x?6x?7，

　　两边分别加9，得x?6x?9?7?9，

　　即?x?3??16

　　∴x?3?4或x?3??4

　　∴x1?1，x2??7

　　（2）x?3x?1?0

　　解：移项得x?3x??1， 两边分别加

　　22222222229992，x?3x???1?， 4443?5?即?x???

　　2?4?

　　∴x?33x??

　　?

　　2233?

　　，x2??? 2222∴x1?

　　点评：对于二次项系数为1的一元二次方程，首先将常数项移到方程的一边（通常移到右边）；然后在方程两边分别加上一次项系数的一半的平方，便可将方程的左边配成完全平方式，再利用平方根的定义将二次降为一次，

　　3

　　（4）把方程左边写成完全平方的形式，右边为一非负数；

　　（5）利用平方根的定义，把二次方程降为两个一次方程；

　　（6）分别解两个一元一次方程即可。

　　【综合拓展】

　　一元二次方程?x?n??p，

　　当p＞0时，原方程有两个不相等的实数根，

　　当p=0时，原方程有两个相等的实数根，

　　当p＜0时，原方程没有实数根。

　　2

　　5

　　配方法在解数学题中的应用

　　将一个代数式或一个代数式的某一部分通过恒等变形化为完全平方式，这种方法称之为配方法。这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一。

　　配方法广泛应用于代数证明、求最值（最大值或最小值）、解方程、因式分解、代数式的求值、二次函数等。我们这里所讲的配方法主要是指配常数项，当二次项系数为1时，为了把一个二次式配成一个完全平方的形式，只要加上一次项系数的一半的平方即可，值得注意的是由于配方法是一种恒等变形，因此加上一个数则需要再减去这个数，以保持恒等关系。

　　222例如，将代数式x?2x?3进行配方：x?2x?3?x?2x?1?1?3??x?1??2。当然这里也可以将3拆2

　　为1+2。

　　例题1 证明：代数式2x?12x?20的值恒大于0。

　　思路分析：对此代数式进行配方，将其化成a?b（b＞0）的形式。

　　答案：

　　证明： 22

　　2x2?12x?20

　　?2?x2?6x??20

　　?2?x2?6x?9?9??20

　　?2?x2?6x?9??18?20

　　?2?x?3??2

　　∵不论x为何值， 2

　　?x?3?2?0，

　　2所以2?x?3??2?2，

　　即2x?12x?20的值恒大于0。

　　2点评：若要证明一个代数式的值是一个正数，则设法将其化成a?b（b＞0）的形式，并且代数式a?b有最

　　2小值，最小值为b，此时a=0，对于这道题，2x?12x?20?2?x?3??2，∴此代数式有最小值2，此时x=3。 222

　　若要证明一个代数式的值是一个负数，则设法将其化成?a?b（b＞0）的形式。例如：无论x为何实数，代数式－x2＋4x－8的值恒小于?4。

　　例题2 已知a2＋b2－4a－2b＋5=0，求ab的值。

　　思路分析：对此方程左边进行配方，将其化为两个完全平方式的和的形式。

　　答案：解：a?b?4a?2b?5?0

　　6

　　222

　　a2?4a?b2?2b??5

　　a2?4a?4?b2?2b?1??5?4?1

　　?a?2?2??b?1??0

　　222∵?a?2??0，?b?1??0，

　　∴?a?2??0，?b?1??0，

　　即a?2，b?1，

　　∴ab?2

　　点评：此题利用了完全平方式的非负性求解，几个非负数的和为0，则这几个非负数皆为0。

　　例题3 方程x2＋y2－4x＋10y＋16=0的整数解有______个（一对x和y的值视为一个解）。

　　思路分析：对方程左边进行配方，化成两个完全平方式的和的形式。

　　答案：x2?y2?4x?10y?16?0 22

　　x2?y2?4x?10y??16

　　x2?4x?y2?10y??16

　　x2?4x?4?y2?10y?25??16?4?25

　　?x?2?2??y?5??13

　　222当x和y均为整数时，?x?2?和?y?5?也为整数，并且是完全平方数，

　　把13拆成两个完全平方数的和为4+9，

　　∴当?x?2??4时，则?y?5??9；

　　当?x?2??9时，则?y?5??4；

　　22???x?2??4???x?2??9即?或?， 22???y?5??9???y?5??42222

　　再将这两个方程组降为一次，

　　?x?2?2?x?2?2?x?2??2?x?2??2；?；?，?，或 ?y?5?3y?5??3y?5?3y?5??3????

　　?x?2?3?x?2?3?x?2??3?x?2??3；；；? ????y?5?2?y?5??2?y?5?2?y?5??2

　　每个方程组对应着一个解，因此此方程组有8个整数解。

　　点评：利用配方法将一个二元二次方程转化为两个二元二次方程组，再利用平方根的定义将二元二次方程组降

　　7

　　为二元一次方程组。

　　【易错指津】

　　配方时，当二次项系数为1时，配方所配的常数项是一次项系数的一半的平方，当二次项系数不为1时，首先将二次项系数化为1，若是解方程，则在方程两边除以二次项系数，若是对一个单独代数式进行配方，则提取二次项系数。

　　【矫正训练】（1）解方程：－2x2＋4x＋8=0；（2）已知M=x2－8x+22，N=－x2+6x－3，则M、N的大小关系是什么；

　　【技巧突破】配方并不总是配常数项。

　　例如：（1）已知a?11?3，求代数式a2?2的值。 aa

　　22（2

　　）已知a?

　　b?a?ab?b的值。

　　一元二次方程练习一

　　定义练习

　　1. 已知方程x?bx?a?0有一个根是?a(a?0)，则下列代数式的值恒为常数的是（ ）

　　A. ab B. 2a C. a?b D. a?b b

　　2. 指出下列方程中的一元二次方程：

　　（1）x?3x?

　　221?0； （2）x2?x?4?x2； x2（3）x?2x； （4）x?4x?6?0。

　　3. 方程?2x?1??4x?2的一般形式是___________，其中一次项系数是_________，二次项系数是_________，常数项是_________。

　　4. 已知关于x的一元二次方程的一个根是1，写出一个符合条件的方程：5. 关于x的方程?m?1?x2??m+1?x?3m?1?0，当m_______时，是一元一次方程；

　　当m_______时，是一元二次方程。

　　26. 若方程?

　　a?2?x??1是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是____________。 2

　　7. 若关于x的方程?a?2?xa2?2?3x?0是一元二次方程，求a的值。

　　2222配方法：1. x?8x?____= ?x?___?；x?2x?3??x?__??__。

　　22. 若a的值使得x?4x?a??x?2??1成立，则a的值为_______。 2

　　23. 将一元二次方程x?6x?5化成?x?a??b的形式，则a?______，b?______。 2

　　4. 把方程x2－8x－84=0化成（x+m）2=n的形式为（ ）。

　　A. （x－4）2=100 B. （x－16）2=100 C. （x－4）2=84 D. （x－16）2=84

　　8

　　5. 判断下列各题：

　　（1）x2+212511x－=（x+）2+（ ）（2）x2－4x=（x－2）2+4 （ ）（3）y2+y+=（y+1）2 （ ） 99 3322

　　226. 用配方法解下列方程： （1）x?6x?4； （2）x?8x?12?0。

　　（3）2x2－x=0； （4）

　　7. 如果二次三项式x2－16x+m2是一个完全平方式，求m的值。

　　应用：1. 方程x2+y2+4x－2y+5=0的解是。

　　2. 已知（x2+y2）（x2+y2+2）－8=0，则x2+y2的值是（ ）。

　　A. －4 B. 2 C. －1或4 D. 2或－4

　　3. 无论x取何值，代数式x2?y2?2x?4y?7的值（ ）

　　A. 总不小于2 B. 总不小于1 C. 可以取任何实数 D. 可能为负数

　　4. 用配方法说明：－3x2+12x－16的值恒小于0．

　　5. 当x，y取何值时，代数式?x2?2y2?2x?8y?5有最大值，最大值是多少？

　　6. 已知△ABC的三边分别为a、b、c，且a2+b2+c2=ab+bc+ac，则△ABC的形状为。

　　7. 设代数式2x2+4x－3=M，用配方法说明：无论x取何值时，M总不小于一定值，并求出该定值。

　　8. 阅读题：解方程x2－4│x│－12=0。

　　解：（1）当x≥0时，原方程为x2－4x－12=0，配方得（x－2）2=16，

　　两边平方得x－2=4，∴x1=6，x2=－2（不符合题意，舍去）；

　　（2）当x0时，原方程为x2+4x－12=0，配方得（x+2）2=16，

　　两边开平方得x+2=4，∴x1=－6，x2=2（不符合题意，舍去），

　　∴原方程的解为x1=6，x2=－6。

　　参照上述例题解方程x2－2│x－1│－4=0。

　　9

　　12x+2x－1=0。 2

　　2答案1. D 解析：把x??a代入方程得：a?ab?a?0，∴a?a?b?1??0，∵a?0，

　　∴a?b?1?0，∴a?b??1，故选D。

　　2. （3）x?2x；（4）x?4x?6?0 解析：根据一元二次方程的定义判断。

　　3. 4x?8x?1?0，－8；4；－1。

　　4. 答案不唯一，如：x?x?0，符合题意即可。 2222

　　；m?1 5. m?1

　　解析：若关于x的方程?m?1?x2??m+1?x?3m?1?0是一元一次方程，

　　则关于x的二次项不存在，即m?1?0，m?1；

　　若关于x的方程?m?1?x2??m+1?x?3m?1?0是一元二次方程，

　　则关于x的二次项存在，即m?1?0,m?1。

　　6. a??1且a?2 解析：被开方数为非负数且二次项系数不为0，

　　?a?1?0∴?，解得a??1且a?2。

　　?a?2?0

　　7. 解：由一元二次方程的定义可得a?2?2，∴a??2，

　　但是当a?2时，原方程二次项系数为0，故将a?2舍去；

　　当a??2时，原方程二次项系数不为0，是一元二次方程，∴a??2。 2

　　10

　　解一元二次方程:配方法

　　1. 16；4；1；4。

　　222解析：x?8x?16= ?x?4?；x?2x?3?x?2x?1?1?3??x?1??4。

　　222. 3 解析：∵?x?2??1?x?4x?4?1?x?4x?3， 222

　　∴x?4x?a?x?4x?3，

　　∴a?3。

　　23. ?3；14 解析：用配方法得：x?6x?9?5?9，即?x?3??14，∴a??3，b?14。

　　24. A 解析：x?8x?16?84?16,?x?4??100，故选A。 2222

　　5. （1）；（2）；（3）。

　　212111?1?2解析：（1）x2?x??x2?x?????x???； 393999?3?9

　　22（2）x?4x?x?4x?4?4??x?2??4； 22

　　（3）121112y?y???y2?2y?1???y?1?。 2222

　　6. （1

　　）x1?3

　　x2?3（2）x1?6，x2?2

　　2解析：（1）原式?x?6x?9?4?9，?

　　x?3??13，x?3?

　　2

　　∴x1?3

　　x2?3

　　2（2）原式?x?8x?16??12?16,?x?4??4,x?4??2， 2

　　∴x1?6,x2?2。

　　1?11?1?1?1??7. 解：（1）2x2?x?0，2?x2?x??0，2?x2?x???，2?x???， 2?216?8?4?8??

　　1?1111?x??，x???，x?，x2?0。 1??416442??

　　（2）22121112x?2x?1?0?x2?4x??1?x2?4x+4??1+2?x?2??3， 2222

　　2?

　　x?2??6，x?2?x1??2?x2??2?

　　22228. 解：配方x?16x?64?m?64??x?8??m?64，

　　11

　　因为这是一个完全平方式，∴m2?64?0，∴m??8。

　　应用答案：1. x??2，y?1。

　　解析：由配方法可得：x2?4x?4?y2?2y?1?0，∴?x?2???y?1??0， ∴x?2?0，y?1?0，∴x??2，y?1。

　　2. B 解析：本题解题关键是把x2?y2看做一个整体，则原方程可化为： 22

　　?x

　　?x2?y2??2?x2?y2??8，再运用配方法可得： 22?y22??2?x?y?+1?9，?x?y+1?=9，x2?y2+1=?3,x2?y2?2， 22222

　　或x2?y2??4，∵在实数范围内x2?y2不可能为负数，∴x2?y2?2，故选B。

　　3. A 解析：由配方法可得：原式=x2?2x?1?y2?4y?4?2= ?x?1???y?2??2， ∵?x?1???y?2??0，∴?x?1???y?2??2?2，故选A。

　　4. 解：原式=?3x?4x?4?12?16??3?x?2??4， 2222222??2

　　∵?x?2??0，∴?3?x?2??0，∴?3?x?2??40。

　　∴－3x2+12x－16的值恒小于0。

　　225. 解：原式=?x?2x?1?2y?8y?8?4???x?1??2?y?2??4， 22222

　　∵?x?1??0，?y?2??0，∴??x?1??0，-2?y?2??0，

　　∴??x?1?-2?y?2??4有最大值，最大值为4。

　　6. 等边三角形 解析：由配方法可得：2a?2b?2c?2ab?2bc?2ac?0，即： 222222222

　　?a?b?2??b?c???a?c??0，∴a?b，b=c，a=c，∴a?b?c， 22

　　∴△ABC为等边三角形。

　　7. 解：M=2x2+4x－3=2（x2+2x）－3=2（x2+2x+1－1）－3=2（x+1）2－5

　　∵（x+1）2≥0，∴2（x+1）2－5≥－5，

　　即M≥－5，∴无论x取何值时，M≥－5，该定值为－5。

　　8. 解：当x－1≥0时，即x≥1时，原方程可化为x2－2（x－1）－4=0，

　　x2－2x－2=0，x2－2x+1=2+1，

　　∴x2－2x+1=3，（x－1）2=3，

　　∵x－

　　∴x1

　　x2=1

　　∵x2=1

　　（不符合题意，舍去），∴

　　12

　　当x－10时，原方程可化为x2－2（1－x）－4=0， x2－2+2x－4=0，x2+2x=6，x2+2x+1=6+1，（x+1）2=7， ∴

　　∴x1=－

　　x2=－1

　　∵x=－

　　（不合题意，舍去），∴x=－1

　　∴原方程的解为x1

　　x2=－1

　　13