第二章随机变量及其概率分布Word

　　第二章 随机量及变其概率分布

　　21 .机随变的量本基念概一随、机量的引变入、二机变量随的概念三、小结

　　、随机变量一引入1. 为的么引入随什机变量?概率是论从数量来研上究机随现象内规律在 的，为了更性方有力的研便随究现象机，要就用数学分 的析法来方究，研因此 了便为于数上的学推导和 算计，需就将意任的随机件数量化.当事 一把些非量表数的随机事示件用数字来表示，时 建就起了随机变立的量念.概

　　2. 随变量机引入的例1 实一装有在球红白、球的中袋摸任个球, 观一察出球摸的色.颜 Ω=红{色、白色} 数非量可 采用列方法下红色 白 色

　　?

　　Ω 数将化

　　量 Xe()

　　R1即

　　X有 (色)=红 , X 1(色白=0.) ,1e = 红 色 , X (e )= 0 ,e 白色=.

　　这样便将数量非的Ω={红色，白色 } 量化数.了

　　1 1PX = {0}= , P{ X = }1= 2 2

　　实

　　2 抛例骰掷子观察,现出点的数.

　　则有Ω={12,3,,4,56}

　　,本样点身就本是量数

　　Xe) (= e恒等变

　　X (1)换 =1, X 2)(= ,2 X () = 33 X,( 4 =) 4,X ( ) 5=5 , X 6) =(6, 且有

　　P1{X =i =}, (i = 1 ,,32 4,,5 ,6. 6)

　　二、机随变的概量念1.定义设E 是随试验机 ,它的 样本间空 W是. 果如于对一个样本点每w 蜽 有,一实个 数 Xw)(与之 对应, 这样 得就到个定一义 W上在的单实值 函值数 (X)w,称 X(w) 为随机变量.随机变通常用量X,,YZ.,.. 来示表2.说明

　　(1随机变量与普通的函数不)同随机变是一个函数量 ,但与它普通的函数 着本有的差质 别,普函通数是定在义实数上的轴, 随而变量是定机义样本在空上的 间样本空间(元 的素一不是定实).数(2)机变随量取的值有具一定概率的律 规随变量随着试验机结的不同而取不同果的值, 由试验于的个结各果的现出具有一的概定,率 因 此随变机量的值取也有一的概率规律定.实例1

　　设盒有中个5球(2白3 黑), 从中抽任个,3则X( )e 抽得的白 数,球是一个机变随量 且 .Xe() 的所有能可取值为 :, 1, 20.例2 设某实射每手次射打中目击的概率标0是8., 该射手射了3现次,0 则 (Xe) 中目标的射次,数是一随个变机.量 且X( )e 的所可有取能为值: 0 ,, 2,13 , ,3 0.

　　实3例 设某射手次每射击中目标打概的是0率.8,现该射手不向目断标击 射, 到直中击目为止,则

　　X 标e )( 所需射 击数次, 是一随个变机.量且X ()e的所 有能取值为可:

　　, 21,3, .

　　例实 某4公汽共车每隔 站 5分钟一辆汽有通 车, 过如果某到达该人车的时站是随刻机的,

　　X 则( e ) 此 人等车时的间,是一个随机变. 且 量Xe( 的所有可)

　　能取为值 :0[,]5.

　　3.机随量的分类随机变变 量离散型 连续型

　　()离散型1

　　机随量变所取的能值可是有多限个或无限可列个, 叫做散离随型机量变 定义2-[2] .例实1 观掷察一个子出现骰的点. 数机随量变X 的 可值是 能: 1 2, 3, 4,,5 6,

　　.实例

　　2随机变量 若X 为 记连续射“击 ,直命至中 的射时次击”, 数则X 的可 值是:能1,2, 3, . 实例 3某射手设每射次击打目中标的率是概.0,8

　　该现射手射30了,则随机变次量X 为“击记中目标的次数”,则 的所X有能可取为:值

　　0,1 ,2,3 , , 03.

　　(2连)续型 随机量所取变可能值可以的续地连充满某个间区叫做,续型随连机量. 变实例 随机变1量X 为灯泡的寿命”“ 则.X 的取值范 围 [为, 0 .)实 例2某 公汽车共站每 5隔 分有钟一辆汽车过通 如果,某人达该到车的站时刻是随的机 则,若随机变量 X 为此人“等的车时”.间 则X 的值范取围为 [0 5],

　　2.1离散型.机随量及变分布律其、离一型随机散变量分的布 二、律见离散常型机变量的概随率分 三布小结

　　例2-3 袋子有中个5样大小同球，的号为编1~, 从中5同时取3个出球，记X取为出球的最大的号，编 求的X布分率 X的可.取值能为，3,45解 2 2 1 C41 C36 3{ X = P3}= 3= P{,X = 4 = 3 }=, P{ X 5} == 3 C5=1 C05 0 C511 0则X的分布律

　　为XP

　　4 5 313 610 0 110

　　例-4 已知一批零2共件01,个中3个其合不，格 现取任一件用，使若取不合格零到件，丢弃则，再重新抽取一件 ，如此去，试下求到取合零格之前取出的 件合不零格件数X的分布率. 个解X的 能可值为取，0,213,利用概率的乘 法式公得7 P可{ = 0} X=P ( A 1 )= 1, 03 7 7P { X =1} P( =1 A2 ) A= P (1A) ( PA A12 )= = 0 1 930

　　设A i(i= 0, 12,3,表)“第i示取次出的件零合不”格

　　2 3 7 7{PX 2}= =P ( A1 2A 3 A) P ( A1 )=P ( 2AA 1 P) (A 3 A1A 2) = = 10 8 129

　　P{ X0 =3 } = ( P1 AA2 3A 4 A) = P ( A ) P1( 2AA 1 P)( A 3A 12 )AP ( A4 A 1A2 A3 )3 2 1 7= 创 10?9 87 故X的分律为布1 10

　　X2P

　　0 10

　　7

　　17 0

　　3271 023

　　1120例

　　知已的分X律为布X

　　P:解071

　　10 3702 12073

　　1 120求PX{1}、 P{X 1}、P{ 1 X2.}

　　P5X{1} ={PX0=}+P{=1}=7X/0+713/=04/115{PX1}=PX={2+P{X}3}=7=/20+1/12011/=51{P1 X2.}5 P{=X=}1P{X=+}=2730/+/712=0724

　　/2例5 -一对目标续连行进击，直射击中到标为止目。 果每次射如击命中的率p,求为射次数X的分布律击。解 X的 能取可为值12,3,,…. .设A ii(= 1,23,4),示表第i“次射未” 中事{X件k}表示=前k“1-次射未击中第k,次中” 命 { kX} A 1A2 .. A.k 1 A k每次又射命击中否与相互是立的，独则 的分布律Xpk 为P X { k } P( A1A 2... Ak 1 k A )P (A )1P ( A2).. .P( Ak ) 1P A(k) 1( p) k p,1 k 1, 2 , ...

　　的道路上

　　需经过 四练 设一习汽在开车目往地 组信号的灯, 组信号每以灯 12的 概率允许禁或止汽车通过 . X以 表示汽车首次下时停 它已,通过信 号的的灯数(组设各信组号灯的作是 相互工独立的), 求X 分的布.律

　　的路道上经需四过练 设一习汽车开在往目的 组地信号,灯每 组号灯信以 2 的1概允率或许禁汽 止车通.过以 X 示表车首汽停下时 次,它 通过已信 的灯的号组(设数组信各号的灯工是作相 独立互的, ) 求 X的布分.律解

　　设 p为 每组信号禁灯止车汽 过通的概, 率有X则0 12 3

　　4kpp (1 p p

　　)( 1 )2 pp (1 )p 3 (1p p)4

　　二、常

　　离散型随机见变的概量分布率.两1分点布设随机变 X量 可能只取与01个两 ,值它 分的布律为X pk

　　0 1p 1

　　p称 X 服则从(0— )1分 或布两分点.

　　布实

　　1例“抛 币硬”验,观察正试反、两面 情况 0. 当e ,正面 X , (X ) e 1, 当e 反面 .随机 量 变X服 从( 0—1)分 . 布分其律为布Xpk

　　0 1 212 1

　　例2 实002件产中,有品10件合9格品1,0不件格 合,现从中随品抽取机件,一若 定规 , 1得不取合格品 X , ,0取得 格品合.X

　　010 290

　　0110200

　　pk 则随机量变X 服 (从 0—)分布1.

　　说明两 分布点最是单简一的分种布,任何个一只 两种可有能结的果机随现, 象比新如婴生是男还儿是女、 天明是下雨否、种是否籽发芽等 都属于两点 ,布.分

　　2二项.布分(1 重)独复立验试将 验试 E复重行 n 进,次若各 试验的次结互果不影响 即,每次验结果试出现概率都不依赖的其于它各次试的验果结, 则这 n称 次试验相是独互立,的或称 为n 重复独次立验试

　　.()2 n 重努伯试验利 设试 验E 只有两 个可结果能: A 及 A,则 称 E伯为利试验努 . 设 ( PA) ( p0 p 1), 此 P (时A ) 1 p. 将 E 独立地重复地进行n 次, 则这一串称 复重独的立验为n试重伯 努利试验 .实例1 一枚抛硬观察币得到面或正反面 若将硬. 币抛 n 次就,n重是努伯

　　利试. 实验例2 一抛颗骰子次,观察n否是“出现 1点”,就 是 n 重伯利试努验.

　　(3) 项二布

　　分 若X表 n示 重努伯利试验事中A件 生的次发,数 则X 有所可能的取值 为,0 1 2, , ,n.当 X k (0 k n) 时 即, A 在 次n试中发验了k 次. 生因A 在 n 试次中验发 生k次的 式共有 方C k种n,且两两不相互.容此因 在 An次 试验发生中 k次的概 率k 为 Cknp ( 1 p)n k记 q 1 pkCn p k q n k得

　　X 的分律布为kp { PX k} C n pkk q n k , k0,1 ,2, ... n,其 0中 p ,1p q 1

　　即

　　0Xn 1n1 pqCn 1

　　k nk

　　k n k

　　nnpk q C pq p

　　这称的分布样为二分项. 布称X服从数参为n p的二项分,,记为 X布 B(n, p~) . n1两点 分布二 分布项

　　例在 同相件条相下互立地进独 行 5次射击每次,射击 时击目中的标概为 率06 ,.则击目中的标次 X 服数从B5(, 06) .二的项布.分

　　2-6例某 特效的临床药有效率0为9.5,现10 人服用有问，少至8有人愈治的概率是多少？解 设X表示10中被治愈人人的数则，X ~(B1, 00.95) 而所求的概率为P{ X 8} .0898

　　5 例52- 设 X 7 B~2,(p , )Y~ B 3( p,),设P{ X } 1 9 求 PY { 1解 由P}X {1 1} P{ X }0 20 0

　　又3P{由 Y }1 1 P Y { } 10 0 093 1 3C p (1 p ) 2 7

　　得 p5 1 C p ( 1 ) p 9 21

　　4 例人进行某射, 设每击射击的命次率中为 .020,

　　立独击 40射0次 试,至求击少中次两概的率 解 设击.中次的数为X, 则 ~ X(b40,0.02)0. X 的布律分为kP X { k }C 400 (.02)k0 (098).04 k 0,k 01,, 4,00.因此 P {X 2} 1 P { X0} P { X 1} 1 0(9.8)40

　　400(0.020)(.09) 8 099.2.7399