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固定边矩形膜振动的模态分析 第 1 页 共 8 页

固定边矩形膜振动的模态分析

张三 ( 安庆师范学院物理与电气工程学院 安徽 安庆 246011)

指导教师：章

摘要：本文对固定边矩形膜振动的研究。首先写出固定边矩形膜的定解问题，运用数学物理方程中所涉及的方法，例如分离变量法，拉普拉斯变换法对其进行求解。此处我们用分离变量法求解，得出任一时刻矩形框内任一处膜振动的位移，运用MATLAB对解析解进行模拟，借助图像的直观生动这些特性从而进一步对矩形膜振动的振动过程进行讨论。

关键词：膜振动，分离变量，MATLAB，可视化

1.引言

现实生活中膜振动的例子很多，不少实际生产中经常用到膜振动，如电话的话筒和听筒就用到了膜振动的原理[1] 。数学物理方程中，描述膜振动过程的数学模型是二维波动方程。膜边界形状有规则和不规则的，定解问题的解与初始条件和边界条件有密切关系。

到目前为止，对于矩形膜的描述已有大量的资料参考，很多资料都导出了膜振动的方程。如哈尔滨工业大学数学系组编的《数学物理方程》，复旦大学数学系组编的《数学物理方程》等等。本文中我们用分离变量法[2]求解矩形区域内二维膜振动方程，然后用MATLAB的方法对其可视化，并对物理过程进行讨论

2. 用分离变量法求解膜振动的混合问题

2.1定解问题

长为c宽为b的矩形膜，其矩形框固定不变，若给定矩形框内任意处特定位移，在不受外界情况影响下，矩形膜的振动情况，其定解问题可写为

utt=a2(uxx+uyy)(0≤x≤c,0≤y≤b,0≤t) (1) u|x=0=u|x=c=u|y=0=u|y=b (2) u|t=0=Ax(x?c)sinπy

b,ut|t=0=0 (3)

2[3]式（1）是膜振动的方程，若考虑强迫振动时则为utt=a(uxx+uyy)+f。其中u是膜振动过程中，

任意处的横向位移，它是x,y,t的函数，a是任意实数，f也是x,y,t的函数，忽略振动过程的外力从

1

固定边矩形膜振动的模态分析 第 2 页 共 8 页 而这里f取0。式（2）是矩形的边界条件，在长为c宽为b的矩形框的四周，函数值取0。式（3）是初始条件，在时间t=0时刻任意处的横向位移u的取值为Ax(x?c)sin

阶偏导在t=0时刻的函数值为0。

2.2 解定解问题的分离变量法[4][5]πyb，横向位移u对时间t的一

设（1）式有可以分离变量的特解

u(x,y,t)=T(t)v(x) (4) 将上式代入（1）式，得到

?2T?2v?2v2v(x,y)2=aT(t)(2+2 （5） ?t?x?y

1?2T1?2v?2v=(+ （6）或2 aT?t2v?x2?y2

式（6）的左边是时间t的函数，右边是x,y的函数，t与x,y之间是相互独立的，所以只有当等式两边都是常数时，等式才能成立。令这个常数为?λ，则有

1?2T1?2v?2v=(+)=?λ （7） a2T?t2v?x2?y2

由此得到两个常微分方程

?2T+a2λT=0 （8） 2?t

?2v?2v ++λv(x,y)=0v|Γ=0 （9）?x2?y2

其中λ称为分离常数，Γ为矩形边界。

对v继续分离变量，令v(x,y)=X(x)Y(y)带入（9）式得

X''Y+XY''+λXY=0 （10） 以XY除（10）式左右两边并将

两边应取常数值α，有 X''Y''X''移到等式右边得+λ=?为使上式在矩形中成为恒等式，XXY

X''+αX=0 （11） Y''+βY=0(β=λ?a) （12）

2

固定边矩形膜振动的模态分析 第 3 页 共 8 页 利用边界条件（2）式可得X(x)=X(c)=0,Y(0)=Y(b)=0，进一步得如下两个定解问题 ?X''+αX=0? ?X(0)=0 （13）?X(C)=0?

?Y''+βY=0? ?Y(0)=0 （14）??Y(b)=0

首先，对（13）式进行求解

I. 当α<0时，这时方程X''+αX=

0的通解为

X(x)=+Be其中A

,B为两个任意常数，代入边界条件得

X(0)=A+B=0

X(c)=+Be=0 （15）因??11?

??e??≠0

?

故A=B=0，此时方程X''+αX=0只有平凡解。

II．当α=0时，方程X''+αX=0的通解为

X=Ax+B （16）其中A,B为两个任意常数，代入边界条件得

X(0)=B=0

X(c)=A??c+B=0 从而A=B=0，此时方程也只有平凡解。

III．当α>0时，方程X''+αX=

0的通解为

X(x)=A+B 代入边界条件得

X(0)=A=0

X(c)=Bsin=0 （19）为使X(x)不恒为零，应有B≠

故sin=0，

=nπn=0,1,2,...

3

（17） （18）

（20）

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n2π2

满足这等式的α值就是特征值，记为αn,即αn=

c2

相应的特征函数为

Xn(x)=sin

nπx（21） n=1,2,3,...

c

下面对（14）式求解

同理，只有β>0时才有非平凡解，对（14）式求解，得：

特征值βm=m2π2

b

2

相应的特征函数为

Ym(y)=sin

mπ

b

ym=1,2,3,... （22）故 v(x,y)=Xy)=sin??nπn(x)Ym(?x???sin??mπ?by?

c

??

n,m=1,2,3,... （23）

将上式代入（9）式得

λ=π2

?nm

?n2m2?

?c2+b2??

n,m=1,2,3,... 对于每一特征值λ''+

a2

nm，方程TλnmT=0的解是

Tnm(t)=Cnm+Dnmsin （25）于是我们得到方程（1）满足边界条件（2）的可分离变量的一系列特解

un(x,y,t)=Tn(t)Xn(x)Ym(y) 为求出方程（1）满足初始条件（3）的解，将（26）式叠加起来，记其和为u(x,y

,t)，则

u(x,y,t)=

n∑∞

Cnmcos

,m=1

(

)+Dnmsin

))

?sin

nπxmπcsiny

b

将初始条件（3）式代入（27）式，得

∞

u(x,y,0)=Ax(x?c)sin

πy

nπxmπb

=

n∑?

,m=1??

Cnmsincsiny?b??

∞

ut(x,y,0)=0=

nπxnπy?n∑,m=1nmsincsinb?? （29）

由初始条件定出

4

（24）

（26）

（27） （28）

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Dnm=0n,m=1,2,3,... （30） Cnm=0m=2,3,... （31）

?8Ac2

,n=2K+1,K=0,1,2,...??3 （32） cn1=?(nπ)?0,n=2K,K=1,2,3,....?

最终的固定边矩形膜振动解可表示为

???2K+1π2)?8Ac?sin?(u(x,y,t)=∑?cos33???cK=0?(2K+1)

π??∞??πy? （33） x?sin?b???

从这个解中可以看出，矩形膜的本征函数和本征值分别是

nπxmπy?nπ??mπ?sin,λnm=?（34） Xn(x)Ym(y)=sin?+?? cb?c??b?

3. 用MATLAB方法[6]22求解膜振动的混合问题

对分离变量法所求的解析解，我们用MATLAB解法进行模拟、可视化，若横坐标长c取为1，纵坐标宽b取为2，它们固定不变，高u表示膜振动的位移，可得如下所示的不同时刻(p=10

,11,...,18)矩形膜振动过程模拟图

图1表示10秒这一时刻矩形膜振动情况

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