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第一章导数及其应用过关练习题2014-3-5

一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）

1、 函数y?x?1在点x?1处的切线斜率为 x

A 2 B 2.5 C 1 D 0

2、 函数y?sin2x的导数为

A cos2x B 2cos2x C 2(sinx?cosx) D —sin2x

3、函数y?xlnx的单调减区间为 A (，??) B (??，) C （0，) D (e，??）

4、下列函数中，x?0是极值点的是

A y??x3 B y?cos2x C y?tanx?x D y?

5、函数f(x)?3x?4x ，x?[0,1]的最大值为 A 1 B

6、曲线f(x)＝x3＋x－2在点P处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P的坐标为

A (1,0) B (－1，－4) C (1，－4)

7、函数f (x)的定义域为开区间 (a，b)，导函数f (x)在(a，b)内的图象如下图所示，则函数

f(x)在开区间(a，b)内有极大值点有

/221e1e1e1 x31 C 0 D —1 2 D (1,0)或(－1，－4)

A 1个 B 2个 C 3个

8、函数f(x)在定义域(— D 4个 3/ ，3 )内可导，图象如图，记f(x)的导函数为f(x)，则不等2

/式f(x)?0的解集为

1

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1，1]?[ 2，3） 3

148B [—1，]?[，] 233

31C [—，]?[1，2] 22

3148D （—，—1）?[，]?[，3） 2233A [—

9、已知函数f( x ) = x – ax + 1在区间(0，2)内单调递减，则实数a的取值范围为

A = 3 B ≥3 C ≤3 D 0 < a < 3

10、由曲线y = 2 x 与 y = 3 — x 围成封闭区域的面积为 A 2 B 9 — 2 C 2323235 D 33

?2x?[0，1]?xe2

11、设f(x)?? ，则?f(x)dx= 102?x?(1，e]?x

4578A B C D 3333

12、函数y?xsinx?cosx，x?(??，?)的单调增区间是 ?A (??，

? C (??，?)和(0) B (?，0)和(0) 2222????)和(，?) D (?，0)和(，?) 2222???

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）.

13、2??24?x2dx=

314、函数f(x)?x?x?3 ，x?[— 2 ，2 ]图象与x轴公共点的个数为2cos(6x??)?1215、已知函数f(x)?，则f?(?) 92

16、已知函数f(x)?

2 4x在区间(m，2m?1)上单调递增，则实数m的取值范围是

2x?1

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三、解答题：（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17、（1）已知函数y=xlnx，求函数图象在点x=1处的切线方程；

（2）已知曲线y=5x，过点P（0，5）且与曲线相切的切线方程。

18、求由函数y?x2?x、y?x图象与x轴围成的图形面积。

19、已知函数f(x)?xlnx。

（1）求f(x)的最小值；

（2）若对所有x?1都有f(x)?ax?1，求实数a的取值范围。

20、统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式为：y?13x3?x?8，(0?x?120)。已知甲乙两地相距12800080

100千米。

（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

（2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

21、已知f(x)?x3?3ax2?bx?a2(a?1)在x??1时有极值0。

（1）求常数a，b的值；

（2）求f(x)的单调区间；

（3）方程f(x)?c在区间[-4,0]上有三个不同的实根时实数c的范围。

k22．已知函数f(x)＝ln (1＋x)－x2 (k>0)． 2

(1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)求f(x) 的单调区间．

3

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答案

一、选择题： DBCBA DBABC CA

二、填空题： 2π ； 1 ； 0 ； （—1，0]

三、解答题：

17、（1）y?|z?1?(lnx?1)|z?1?ln1?1?0?1?1，即切线斜率为1

当x?1时，y?1?ln1?1?0?0， 即切点坐标为（1，0） ∴切线方程为y?0?1?(x?1)，即y?x?1；

5?（2）设切点为M（x0，y0），y??x2 2

5?15∴切线方程为y?5?x02(x?0)，即y?x?5……① 22x01

??y?5x0?0?x0?4?由?解得：? 5?y0?10?y0??x0?5?2x0??

∴切线方程为y?5x?5即5x?4y?20?0 4

?y?x2?x18、 如图所示，?得：x?0或x?2?y?x

法1：

21131222S=?2?2??(x?x)dx?2?(x?x)|1 1232

2157=2?[?(??2?? 36662 法2：

S=?1

0xdx??[x?(x2?x)]dx?1212111272x|0?(x2?x3)|1??? 23236

??)，f?(x)?lnx?1 19、（1）x?(0，

令f?(x)?lnx?1=0得：x?1，列表： e

4

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∴f(x)的最小值为?

e

1

?a x

（2）当x?1时，f(x)?ax?1即xlnx?ax?1即lnx? 设g(x)?lnx?

1

（x?1），下求g(x)的最小值： x

11x?1

g?(x)??2?2

，令g?(x)?0得：x?1，列表：

∴g(x)≥1 ∴ 要使lnx?

1

?a恒成立，需a≤1 x

100

?2.5小时， 40

20、解：（1）当x?40时，汽车从甲地到乙地行驶了

133

耗油(×40－×40+8)×2.5=17.5（升）.

12800080

所以汽车以40千米/小时的速度行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。 （5分）

（2）当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了

依题意得

100

小时，设耗油量为h(x)升， x

131001280015

h(x)?(x3?x?8)??x+?(0?x?120) ……… 8分

12800080x1280x4

x800x3-800?640

h?(x)?－2= ，令h?(x)?0得x?80，………… 10分 2

640x640x

x∈(0,80)时，h?(x)?0,h(x)是减函数；当x∈(80,120)时，h?(x)?0,h(x)是增函数,

∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25, 因为h(x)在(0,120]上只有一个极值，所以它是最小值.

5